Cho a,b,c dương và a + b +c = 1. CMR
\(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\) ≥ 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
9 tháng 6 2020
Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi.
Chứng minh các khác:
Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (@)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)
Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@)
=> (2) đúng
Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 7 2020
a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
2 tháng 7 2019
\(\sum\)\(\frac{a}{1+a^2}\)\(\le\)\(\sum\)\(\frac{a}{2a}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(VT=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
2 tháng 7 2019
sao olm ko hiện \(\sum\) ra nhỉ ? thoi mk ghi lại v
\(\frac{a}{1+a^2}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
tương tự 2 cái kia cộng lại t có bđt cần cm
16 tháng 6 2018
Hình như đề sai, theo mik là nó lớn hơn bằng 3/2 nhé (ko biết đúng ko)
\(\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}=\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\)
Do a,b,c là 3 số thực dương nên áp dụng BĐT Cauchy Schwarz cho 3 phân số:
\(\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2c+bc^2a+ca^2b+a+b+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{3abc+3}\)(Thay a+b+c=3)
Lại có: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{3^3}{27}=1\)(BĐT Cauchy cho 3 số)
\(\Rightarrow\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}\ge\frac{3}{2}.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c}\) ; \(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
7 tháng 9 2017
Ta chứng minh bổ đề:
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\frac{260}{9}-\frac{160x}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^4+480x^3-242x^2+9}{9x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(x^2+54x+9\right)}{9x^2}\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào bài toán ta được.
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\ge\frac{260}{9}-\frac{160a}{3}+\frac{260}{9}-\frac{160b}{3}+\frac{260}{9}-\frac{160c}{3}\)
\(=\frac{260}{3}-\frac{160}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{260}{3}-\frac{160}{3}=\frac{100}{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
7 tháng 9 2017
áp dụng bunhia ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\right]\ge\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\ge\left(1+\frac{9}{a+b+c}\right)^2=100\)
\(\Rightarrow3\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\right]\ge100\)
\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{100}{3}\left(Q.E.D\right)\)
9 tháng 1 2020
áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwaz
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}\)=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)(đpcm)
17 tháng 1 2017
Dùng súng lục: "siêu tôc thần sầu" không đủ công lực tiếp nhận
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=\left(\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\\ \)
nhân phân phối bình thường ra thôi : \(t+\frac{1}{t}\ge2\)khi t>0 đẳng thức khi t=1
Áp vào trên => VT>=(1+1+1)+(2+2+2)=9
thay a+b+c=6 =>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\) =>dpcm
đẳng thúc khi t=1=> a/b=b/c=a/c=> a=b=c
a+b+c=6=> a=b=c=2
\(VT=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)
\(VT=\frac{a^2}{2ab+ac}+\frac{b^2}{2bc+ab}+\frac{c^2}{2ac+bc}\)
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)