cho 2 số x,y thỏa mãn \(x+y\le2\) và \(x^2+y^2+xy=3\). Tìm min và max của \(T=x^2+y^2-xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
17 tháng 5 2022
đây có phải bài giải phương trình đâu :vv
mà thôi cũng cảm ơn bạn
P
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
\(A=x-2y+3\Rightarrow x=A+2y-3\)
\(\Rightarrow\left(2y+A-3\right)^2+y\left(A+2y-3\right)+2y^2=1\)
\(\Leftrightarrow8y^2+\left(5A-15\right)y+A^2-6A+8=0\)
\(\Delta=\left(5A-15\right)^2-32\left(A^2-6A+8\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-7A^2+42A-31\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{21-4\sqrt{14}}{7}\le A\le\dfrac{21+4\sqrt{14}}{7}\)
LN
0
QT
0
KV
0
3 tháng 1 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge2xy\\\left(x+y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge-2xy\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge5xy\\2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge-3xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge5xy\\1\ge-3xy\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le\dfrac{1}{5}\)
Ta có:
P=\(2\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2+2+\left(x^2+y^2+2xy\right)\)
P= \(\dfrac{2\left(1-xy\right)^2}{4}-4\left(xy\right)^2+2+\left(\dfrac{1-xy}{2}+2xy\right)\)
=\(\dfrac{\left(xy\right)^2-2xy+1}{2}-4\left(xy\right)^2+2+\dfrac{3xy}{2}+\dfrac{1}{2}\)
Đặt t = xy => \(-\dfrac{1}{3}\le t\le\dfrac{1}{5}\)
Ta có :
P= \(\dfrac{-7t^2}{2}+\dfrac{t}{2}+3=-\dfrac{7}{2}\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2+\dfrac{169}{56}\)
Ta có: \(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{14}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{14}\)
<=>\(-\dfrac{17}{42}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{9}{70}\)
=> 0\(\le\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2\le\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)
\(\dfrac{169}{56}\ge P\ge\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{2}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)
Max P= \(\dfrac{169}{56}\) => t = 1/14 => \(xy=\dfrac{1}{14}\rightarrow x^2+y^2=\dfrac{13}{14}\) => x,y=...
Min P=\(\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{6}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\) <=> \(t=xy=-\dfrac{1}{3}\)
<=> x=-y=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
KV
1
27 tháng 5 2018
Từ đề bài \(\Rightarrow4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+44=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-24x-12y+36+3y^2-12y+12-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2=4-3\left(y-2\right)^2\le4\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow-2\le2x+y-6\le2\Rightarrow4\le2x+y\le8\)
Do đó \(4\le P\le8\)
\(\hept{\begin{cases}x+y\le2\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2-a\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\left(a\ge0\right)}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}x+y=2-a\\xy=\left(2-a\right)^2-3\end{cases}}\)
Điều kiện có nghiệm là: \(\Delta=S^2-4P\ge0\)và a>=0 nên 0 =<a =< 4
Ta có: \(T=x^2+y^2+xy-2xy=9-2\left(2-a\right)^2\)
=> \(Min_T=1\)khi x=1 và y=1 hoặc x=-1; y=-1
\(Max_T=9\)khi \(x=\sqrt{3};y=-\sqrt{3}\)hoặc \(x=-\sqrt{3};y=\sqrt{3}\)