Question

[Vũ Huy Hoàng]

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, BC=6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của \(\widehat{BCD}\) cắt BD ở E.

a)Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD

b)Chứng minh: AH.DE=HB.EB

c)Tính diện tích tứ giác AECH

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

a/Xét tgiac AHB và BCD có

\(\widehat{AHB}=\widehat{BCD}=90\),\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\left(SLT\right)\)

Suy ra \(\Delta AHB\sim\Delta BCD\left(g-g\right)\)(1)

b/Từ (1) suy ra \(\frac{AH}{BC}=\frac{HB}{DC}\Leftrightarrow\frac{AH}{HB}=\frac{BC}{DC}\left(2\right)\)

Lại có CE là ph/giác nên \(\frac{BC}{DC}=\frac{EB}{DE}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\frac{AH}{HB}=\frac{EB}{DE}\Rightarrow AH.DE=HB.EB\)

c/Áp dụng Pitago có: \(BD^2=AB^2+AD^2\Leftrightarrow BD=\sqrt{8^2+6^2}=10cm\)

\(\Delta ADB\sim\Delta HDA\left(g-g\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{AD}{HD}=\frac{BD}{AD}\Leftrightarrow AD^2=HD.BD\Leftrightarrow HD=\frac{6^2}{10}=3,6cm\)

Có CE là ph/giác nên \(\frac{EB}{DE}=\frac{BC}{DC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow DE=\frac{4}{3}EB\)

Ta có DE+EB=\(\frac{4}{3}EB+EB=\frac{7}{3}EB=BD\Rightarrow EB=\frac{30}{7}cm\)

Vậy HE=\(BD-EB-HD=10-\frac{30}{7}-3,6=\frac{74}{35}cm\)

Cũng từ (2) suy ra \(\frac{AB}{AH}=\frac{BD}{AD}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow AH=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}.8=4,8cm\)

Ta có \(S_{AHE}=\frac{1}{2}.4,8.\frac{74}{35}=\frac{888}{175}cm\)

Kẻ CK vuôn góc BD dễ dàng CM tgiac AHD =CKB suy ra AH=CK. \(\frac{S_{AHE}}{S_{HEC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.HE}{\frac{1}{2}CK.HE}=\frac{AH}{CK}\Rightarrow S_{AHE}=S_{HEC}=\frac{888}{175}cm^2\)

Vậy \(S_{AECH}=2.S_{AHE}=\frac{2.888}{175}=\frac{1776}{175}cm^2\)