Question

[trần hị huỳnh như]

Cho △ABC . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC .
a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành .
b) △ABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ?
c) Nếu BE vuông góc CF thì tứ giác EFIJ là hình gì ?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC có:

F là trung điểm của AB(do CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC)

E là trung điểm của AC(do BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)

Do đó: FE là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FE//BC và \(FE=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔGBC có

I là trung điểm của GB(gt)

J là trung điểm của GC(gt)

Do đó: IJ là đường trung bình của ΔGBC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒IJ//BC và \(IJ=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra FE//IJ và FE=IJ

Xét tứ giác EFIJ có FE//IJ(cmt) và FE=IJ(cmt)

nên EFIJ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Để hình bình hành EFIJ là hình chữ nhật thì hai đường chéo FE và IJ bằng nhau

mà G là giao điểm của hai đường chéo FE và IJ

nên GF=GE=GI=GJ

Ta có: GB=GI*2(do I là trung điểm của GB)

GC=2*GJ(do J là trung điểm của GC)

nên GB=GC

Ta có: GF+GC=FC(do F,G,C thẳng hàng)

GE+GB=BE(do B,G,E thẳng hàng)

mà GF=GE(cmt)

và GC=GB(cmt)

nên FC=BE

Xét ΔABC có

CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)

BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

CF=BE(cmt)

Do đó: ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì hình bình hành EFIJ là hình chữ nhật

c) Ta có: BE⊥CF(gt)

nên FJ⊥IE

Hình bình hành EFJI có FJ⊥JE(cmt)

nên EFJI là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Vậy: Khi BE⊥CF thì hình bình hành EFJI là hình thoi