Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0 và \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\ge0\)với mọi \(x\in R\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\frac{4a+c}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 2 2021
Lời giải:Vì $f(x)\geq 0$ nên $\Delta=b^2-4ac\leq 0$
$\Leftrightarrow 4ac\geq b^2$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$Q=\frac{4a+c}{b}\geq \frac{4\sqrt{ac}}{b}\geq \frac{4\sqrt{b^2}}{b}=\frac{4b}{b}=4$
Vậy $Q_{\min}=4$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2021
\(f\left(x\right)\ge0\) ;\(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=4b^2-ac\le0\)
\(\Leftrightarrow ac\ge4b^2\Rightarrow\sqrt{ac}\ge2b\)
\(F=\dfrac{a+c}{b}\ge\dfrac{2\sqrt{ac}}{b}\ge\dfrac{2.2b}{b}=4\)
\(F_{min}=4\) khi \(a=c=2b\)
8 tháng 3 2017
4. (3/4-81)(3^2/5-81)(3^3/6-81)....(3^6/9-81).....(3^2011/2014-81)
mà 3^6/9-81=0 => (3/4-81)(3^2/5-81)....(3^2011/2014-81)=0
22 tháng 2 2020
\(f\left(-1\right)=a\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c\)
\(=a-b+c\)
\(f\left(2\right)=a.2^2+b.2+c\)
\(=4a+2b+c\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)-2.f\left(-1\right)=\left(4a+2b+c\right)-2\left(a-b+c\right)\)
\(=2a+4b-c=0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2.f\left(-1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)\)và \(2.f\left(-1\right)\)cùng dấu
\(\Rightarrow f\left(2\right)\)và \(f\left(-1\right)\)cùng dấu
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(-1\right)\ge0\)(đpcm)
22 tháng 2 2020
Ta có :\(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=a-b+c\)
\(f\left(2\right)=a.2^2+b.2+c=4a+2b+c\)
\(\implies\) \(f\left(2\right)-2f\left(-1\right)=\left(4a+2b+c\right)-2.\left(a-b+c\right)\)
\(\implies\) \(f\left(2\right)=2.f\left(-1\right)\)
\(\implies\) \(f\left(-1\right).f\left(2\right)=f\left(-1\right).2f\left(-1\right)=f\left(-1\right)^2.2\) \(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(f\left(-1\right).f\left(2\right)\) \(\geq\) \(0\) \(\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
a. Đề bài em ghi sai thì phải
Vì:
\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
b.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)
\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)
Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb
\(\Delta=b^2-4ac\le0\Rightarrow b^2\le4ac\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{b}\ge\frac{1}{4}\)
Đặt \(\left(\frac{a}{b};\frac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow xy\ge\frac{1}{4}\)
\(F=4x+y\ge4\sqrt{xy}\ge4\sqrt{\frac{1}{4}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\y=1\end{matrix}\right.\) hay \(b=c=4a\)