Question

[Thu Trang]

Cho tam giác ABC , trung tuyến AM. Trên nửa mp bờ AB , chứa diểm C kẻ AE vuông góc vs AB và AE=AB . Trên nửa mp bờ AC CHỨA  B kẻ AF vuông góc vs AC và AF=AC. CMR 

a)FB=EC

b)EF=2AM

c) AM vuông góc vs EF

Answer 1

[Nhật Hạ]

a, Vì AM là đường trung tuyến của △ABC => MB = MC

Vì AE ⊥ AB (gt) => BAE = 90^o => BAC + CAE = 90^o   (1)

Vì AF ⊥ AC (gt) => FAC =  90^o => FAB + BAC = 90^o   (2)

Từ (1) và (2) => FAB = CAE

Xét △FAB và △CAE 

Có: AF = AC (gt)

     FAB = CAE (cmt)

       AB = AE (gt)

=> △FAB = △CAE (c.g.c)

=> FB = EC (2 cạnh tương ứng)

b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AM = MK => AK = 2AM

Xét △ABM và △KCM

Có: BM = CM (cmt)

    AMB = CMK (2 góc đối đỉnh)

       AM = MK (cách vẽ)

=> △ABM = △KCM (c.g.c)

=> ABM = KCM (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> AB // CK (dhnb)

=> BAC + ACK = 180^o (2 góc trong cùng phía)        (3)

Ta có: EAF + CAB = (FAB + BAE) + CAB = (FAB + CAB) + BAE = FAC + 90^o = 90^o + 90^o = 180^o   (4) 

Từ (3) và (4) => BAC + ACK = EAF + CAB

=> ACK = EAF

Vì △ABM = △KCM (cmt) => AB = CK (2 cạnh tương ứng) 

Mà AB = AE (gt) => AE = AB = CK

Xét △EAF và △KCA

Có: AE = CK (cmt)

    EAF = KCA (cmt)

      AF = AC (gt)

=> △EAF = △KCA (c.g.c)

=> EF = AK (2 cạnh tương ứng)

Mà AK = 2AM

=> EF = 2AM

c, Gọi {I} = AM ∩ FE

Vì △EAF = △KCA => AFE = CAK (2 góc tương ứng)

=> AFE + FAK = CAK + FAK 

=> AFE + FAK = FAC

=> AFE + FAK = 90^o hay AFI + FAI = 90^o 

Xét △FAI có: IAF + AFI + FIA = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 90^o​ + FIA = 180^o

=> FIA = 90^o​ 

=> AI ⊥ FE

Mà Mà AM ∩ FE = {I}

=> AM ⊥ FE