Question

[●҉т҉υ҉ấ҉и҉'҉ѕ҉ѕ҉•҉ρ҉н҉σ҉и҉ɢ҉'҉ѕ҉ѕ҉...]

cho a,b,n là STN
hãy so sánh \(\frac{a+n}{b+n}\)và \(\frac{a}{b}\)

Answer 1

[Cô nàng Thiên Bình dễ thương]

Ta có: \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{ab+bn}{b\left(b+n\right)}-\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}=\frac{bn-an}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(n+n\right)}\)

Nếu: \(b>a\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{n}\)

Nếu: \(b< a\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

Answer 2

[Agatsuma Zenitsu]

Tui nghĩ là đề phải là \(a,b,c\inℕ^{\times}\) chứ nhỉ?

\(TH_1:\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)

\(TH_2:\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow a+n>b+n\)

Mà: \(\frac{a+n}{b+n}\)có phần thừa so với \(1\) là \(\frac{a-b}{b+n};\frac{a}{b}\)có phần thừa so với \(1\)là \(\frac{a-b}{b}\)

Vì: \(\frac{a-b}{b+n}< \frac{a-b}{b}\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

\(TH_3:\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+n< b+n\)

Khi đó: \(\frac{a+n}{b+n}\) có phần bù với \(1\) là \(\frac{b-a}{b+n};\frac{a}{b}\)có phần bù tới \(1\)là \(\frac{b-a}{b}\)

Vì: \(\frac{b-a}{b+n}< \frac{b-a}{b}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

Vậy: Nếu:  \(\frac{a}{b}=1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)

Nếu: \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

Nếu: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)