Cho 3 số a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}\). Chứng minh \(\left(a-c\right)^3=8\left(a-b\right)^2.\left(b-c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
14 tháng 3 2019
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc+c^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-ac-bc+c^2-3ab\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(a;b;c>0\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
\(P=0\)
TT
7 tháng 3 2020
Sửa đề : Cần chứng minh \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)
Đặt :\(\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2019}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2017k\\b=2018k\\c=2019k\end{cases}}\)
Khi đó :
\(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(2017k-2018k\right)\left(208k-2019k\right)\)
\(=4\cdot\left(-k\right)\cdot\left(-k\right)=4k^2\)
\(\left(c-a\right)^2=\left(2019k-2017k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)
Do đó : \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\) (đpcm)
KN
28 tháng 8 2020
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Lời giải:
Đặt \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2020}=t\Rightarrow a=2016t; b=2018t; c=2020t\)
Khi đó:
\(\frac{(a-c)^2}{4}=\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2(1)\)
\((a-b)(b-c)=(2016t-2018t)(2018t-2020t)=(-2t)(-2t)=4t^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{(a-c)^2}{4}=(a-b)(b-c)\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Đặng Quốc Huy:
\(\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{(-4t)^2}{4}=\frac{(-4)^2.t^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2\)
VM
24 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2019}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2019}=\frac{a-b}{2017-2018}=\frac{b-c}{2018-2019}=\frac{a-c}{2017-2019}.\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{a-c}{-2}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{-1}.\frac{b-c}{-1}=\left(\frac{a-c}{-2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right).\left(b-c\right)}{1}=\frac{\left(a-c\right)^2}{\left(-2\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right).\left(b-c\right)}{1}=\frac{\left(a-c\right)^2}{4}.\)
\(\Rightarrow4.\left(a-b\right).\left(b-c\right)=\left(a-c\right)^2.1\)
\(\Rightarrow4.\left(a-b\right).\left(b-c\right)=\left(a-c\right)^2\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
VT
6 tháng 1 2018
sửa giả thiết là \(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
Và Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3\ge3\left(abc\right)^2\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c>0
Thay vào thì \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\) (ĐPCM)
^_^
3 tháng 8 2017
Bạn chứng minh đẳng thức sau nhé: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\) \(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
Bạn nhìn thử xem cái ta đi chứng minh có giống với giả thiết của đề bài ko. Giả sử đặt ab=x, bc=y, ac=z.
Khi đó \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
Do đó xảy ra 2 trường hợp: x+y+z=0 hoặc \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì a,b,c là các số thực dương nên \(x+y+z\ne0\)do đó \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Suy ra: x=y=z hay ab=bc=ac hay a=b=c.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Có gì thắc mắc liên hệ với mình nha.
Đặt \(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}=k\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2018k\\b=2019k\\c=2020k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-c\right)^3=\left(2018k-2020k\right)^3=\left(-2k\right)^3=-8k^3\) (1)
\(8\left(a-b\right)^2.\left(b-c\right)=8\left(2018k-2019k\right)^2.\left(2019k-2020k\right)=8k^2\left(-k\right)=8\left(-k\right)^3=-8k^3\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\left(a-c\right)^3=8\left(a-b\right)^2.\left(b-c\right)\left(đpcm\right)\)
mn giúp mk vs
chiều mk nộp rùi
