Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\) . Chứng minh: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LC
16 tháng 6 2015
Vì \(b=\frac{a+c}{2}\)
=>2b=a+c (1)
Do \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{bd}=\frac{b+d}{2bd}\)
=>\(\frac{1}{c}=\frac{b+d}{bd}\)
=>2bd=(b+d).c=bc+dc (2)
Từ (1) và (2) ta thấy:
2bd=(a+c).d=ad+cd=bc+dc
=>ad=bc
Đẳng thức này chứng tỏ 4 số a,b,c,d lập nên 1 tỉ lệ thức.
=>ĐPCM
26 tháng 9 2015
+) b là trung bình cộng của a và c => a + c = 2b
+) \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{2}{d}\right)\) => \(\frac{1}{c}=\frac{d+2b}{2bd}\) => 2bd = c(d + 2b) . Thay 2b = a + c ta có:
(a + c)d = c.(d + a + c) => ad + cd = cd + ac + c2 => ad = ac + c2 => ad = c.(a + c) => ad = cb => \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (điều phải chứng minh)
Ta có:
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{d+b}{bd}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{bd}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{b+d}{2bd}.\)
\(\Rightarrow2bd=c.\left(b+d\right)\) (1).
Vì b là trung bình cộng của a và c (gt).
\(\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}.\)
Thay \(b=\frac{a+c}{2}\) vào (1) ta được:
\(2.\frac{a+c}{2}.d=c.\left(\frac{a+c}{2}+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+c\right).d}{1}=\frac{c.\left(a+c+2d\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right).2d=c.\left(a+c+2d\right)\)
\(\Rightarrow2ad+2cd=ac+c^2+2cd\)
\(\Rightarrow2ad=ac+c^2\)
\(\Rightarrow2ad=c.\left(a+c\right)\)
Mà \(a+c=2b\) (vì b là trung bình cộng của a và c).
\(\Rightarrow2ad=c.2b\)
\(\Rightarrow2ad=2bc\)
\(\Rightarrow ad=bc\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!