Tìm nghiệm nguyên dương (a,b,p) với p là số nguyên tố sao cho \(4p=b\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
Thầy Cao Đô
Giáo viên
VIP
16 tháng 12 2022
Ý thứ hai: Từ giả thiết $p$ nguyên tố suy ra $b$ chẵn (vì $b$ phải chia hết cho $4$), ta đặt $b=2 c$ thì:
$p=\dfrac{c}{2} \sqrt{\dfrac{a-c}{b-c}} \Leftrightarrow \dfrac{4 p^2}{c^2}=\dfrac{a-c}{a+c}$.
Đặt $\dfrac{2 p}{c}=\dfrac{m}{n}$, với $(m, n)=1$ $\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &a-c=k m^2 \\ &a+c=k n^2\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow 2 c=k\left(n^2-m^2\right)$ và $4 p n=k m\left(n^2-m^2\right).$
+ Nếu $m$, $n$ cùng lẻ thì $4 p n=k m\left(n^2-m^2\right) \, \vdots \, 8 \Rightarrow p$ chẵn, tức là $p=2$.
+ Nếu $m$, $n$ không cùng lẻ thì $m$ chia $4$ dư $2$. (do $2p$ không là số chẵn không chia hết cho $4$ và $\dfrac{2 p}{c}$ là phân số tối giản). Khi đó $n$ là số lẻ nên $n^2-m^2$ là số lẻ nên không chia hết cho $4$ suy ra $k$ là số chia hết cho $2$.
Đặt $k=2 r$ ta có $2 p n=r m\left(n^2-m^2\right)$ mà $\left(n^2-m^2, n\right)=1 \Rightarrow r \, \vdots \, n$ đặt $r=n s$ ta có $2 p=s(n-m)(n+m) m$ do $n-m, n+m$ đều là các số lẻ nên $n+m=p$, $n-m=1$, suy ra $s, m \leq 2$ và $(m ; n)=(1 ; 2)$ hoặc $(2 ; 3)$.
Trong cả hai trường họp đều suy ra $p \leq 5$.
Với $p=5$ thì $m=2$, $n=3$, $s=1$, $r=3$, $k=6$, $c=15$, $b=30$, $a=39$.
TC
Thầy Cao Đô
Giáo viên
VIP
16 tháng 12 2022
Ý thứ nhất:
TH1: Nếu $p=3$, ta có $3^6-1=2^3 .7 .11 \, \vdots \, q^2$ hay $q^2 \, \big| \, 2^3 .7 .11$ nên $q=2$.
TH2: Nếu $p \neq 3$, ta có $p^2 \, \big| \, (q+1)\left(q^2-q+1\right)$.
Mà $\left(q+1, q^2-q+1\right)=(q+1,3)=1$ hoặc $3$. Suy ra hoặc $p^2 \, \big| \, q+1$ hoặc $p^2 \, \big| \, q^2-q+1$ nên $p < q$.
+ Nếu $q=p+1$ ta có $p=2$, $q=3$.
+ Nếu $q \geq p+2$.
Ta có $p^6-1=(p^3)^2-1=(p^3-1)(p^3+1)$ nên $q^2 \, \big| \, (p-1)(p+1).(p^2-p+1).(p^2+p+1)$.
Do $(q, p+1)=(q, p-1)=1$ và $\left(p^2-p+1, p^2+p+1\right)=\left(p^2+p+1,2 p\right)=1$ nên ta có hoặc $q^2 \, \big| \, p^2+p+1$ hoặc $q^2 \, \big| \, p^2-p+1$.
Mà $q \geq p+2$ nên $q^2 \geq(p+2)^2>p^2+p+1>p^2-p+1$.
Vậy $(p, q)=(2,3) ; \, (3,2)$.
DT
1
từ gt \(\Rightarrow p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)suy ra b chẵn
Đặt b = 2k thì \(p=\frac{k}{2}\sqrt{\frac{a-k}{a+k}}\Leftrightarrow\frac{4p^2}{k^2}=\frac{a-k}{a+k}\)
đặt \(\frac{2p}{k}=\frac{m}{n}\)với ( m,n ) = 1 và d = ( a-k ; a+k ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-k=dm^2\\a+k=dn^2\end{cases}\Rightarrow2k=d\left(n^2-m^2\right)}\)
và \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)\)
Nếu m,n cùng lẻ thì \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)⋮8\)nên p chẵn tức là p = 2 suy ra ....
Nếu m,n không cùng lẻ thì m chia 4 dư 2 ( do 2p không là số chẵn không chia hết cho 4 và \(\frac{2p}{k}\) là phân số tối giản )
Khi đó n là số lẻ nên n2 - m2 là số lẻ nên không chia hết cho 4 suy ra d là số chia hết cho 2
đặt d = 2r, ta có 2pn = rm ( n2 - m2 ) mà ( n2 - m2 , n ) = 1 \(\Rightarrow r⋮n\)
đặt r = ns ta có : 2p = s ( n - m ) ( n + m ) m . Do n-m,n+m đều lẻ nên n+m=p,n-m = 1
\(\Rightarrow s,m\le2\)và ( m,n ) = ( 1,2 ) và ( 2,3 )
với m = 1, n = 2 thì p = 3 , b = 24 , a = 20
với m = 2 , n = 3 thì p = 5, b = 30, a = 39
Vậy ....
Một bài khó hơn nha bạn tham khảo :D vô TKHĐ của tớ
Nguồn bài này là Iran MO 1998 bạn có thể tham khảo lời giải của giáo sư Titu Andresscu tại đây: