Cho a,b,c dương và tổng a, b, c là 3 .
Tìm Min A \(=\frac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 5 2017
Áp dụng BĐT Côsi-Shaw ta có :
\(A=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\ge\dfrac{9}{\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}}\)
Đặt \(B=\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\)
Ta sẽ có : \(\dfrac{9}{B}\)
Mà : \(\dfrac{9}{B}\) đạt GTNN khi B lớn nhất .
Áp dụng BĐT Cô si , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(a+7b\right).8.8}\le\dfrac{a+7b+8+8}{3}\) ( 1 )
Tương tự , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(b+7c\right).8.8}\le\dfrac{b+7c+8+8}{3}\left(2\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(c+7a\right).8.8}\le\dfrac{c+7a+8+8}{3}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế của \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta có :
\(4.\left(\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\right)\le\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)+16\)
\(\Leftrightarrow4B\le24\)
\(\Leftrightarrow B\le6\)
Vậy \(Max_B=6\) \(\Leftrightarrow Min_A=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1.\)
Sai thôi nha 
KK
16 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\dfrac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
K
12 tháng 9 2021
Ta có: \(4ab\le2a^2+2b^2\)
=> \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}\le\sqrt{4a^2+9b^2+12ab}=\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}=2a+3b\)
=> \(\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
Chứng minh tương tự
=> \(T\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)
Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức
=> \(T\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=1\)
=> \(MinT=1\)xảy ra khi a=b=c=5/3
10 tháng 3 2020
Bài 2 :
Ta có :
\(2a^2+16ab+7b^2=\left(2a+3b\right)^2-2\left(a-b\right)^2\le\left(2a+3b\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{25a^2}{2a+3b}+\frac{25b^2}{2b+3c}+\frac{c^2\left(a+3\right)}{a}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(\frac{25a^2}{2a+3b}+2a+3b\ge10a\)
\(\frac{25b^2}{2b+3c}+2b+3c\ge10b\)
\(\frac{c^2\left(a+3\right)}{a}=\left(c^2+1\right)+\left(\frac{3c^2}{a}+3a\right)-3a-1\ge2c+6c-3a-1=8c-3a-1\)
Khi đó :
\(P\ge\left(10-2a-3b\right)+\left(10b-2b-3c\right)+\left(8c-3a-1\right)\)
\(\Rightarrow P\ge5\left(a+b+c\right)-1=14\)
Vậy \(MinP=14\) khi a=b=c=1
14 tháng 5 2021
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
14 tháng 5 2021
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=16`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
16 tháng 5 2020
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
16 tháng 5 2020
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\frac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)