giải BĐT : \(a^4+b^4\ge2\)với a+b = 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
1
KT
27 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2\) (1) (chỗ này mk bình phương 2 vế nên nhé)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\) (2)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(16\le8\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^4+b^4\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
P/S: trình bày sai chỗ nào thì m.n góp ý nha
19 tháng 7 2017
bài này chỉ ở dạng trung trung thôi, có 2 cái link 1 tổng quát 2 hiệu quát ko biết giúp j dc ko
-tổng quát: Học tại nhà - Toán - Toán hay hay
-hiệu quát: Học tại nhà - Toán - (Bài Toán Thách Thức )
BĐT dạng k hay n là t ngu lắm ko giúp dc :v
10 tháng 11 2016
Bài 1:
a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)
b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)
\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)
c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)
\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)
\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)
d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)
7 tháng 12 2016
Ta có
2a4 + 2b4 + 8 \(\ge\)2ab + 4a + 4b
<=> (2a4 - 4a2 + 2) + (2b4 - 4b2 + 2) + (2a2 - 4a + 2) + (2b2 - 4b + 2) + (a2 - 2ab + b2) + a2 + b2\(\ge\)0
<=> 2(a2 - 1)2 + 2(b2 - 1)2 + 2(a - 1)2 + 2(b - 1)2 + (a - b)2 + a2 + b2 \(\ge\)0 (đúng)
12 tháng 11 2017
BĐT cần chứng minh tương đương
\(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}-2\left(a+b\right)\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{a+b}\ge\dfrac{8\left(a^2+b^2\right)-4\left(a+b\right)^2}{2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\right)\ge0\)
ta phải chứng minh
\(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b\ge2\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> đpcm
LL
1
TN
1 tháng 9 2018
Ta có a>=0 ; b>=0
=> √a >=0 ; √b >=0
<=> (√a -√b)2>=0
<=> a-2√ab + b>=0
<=> a+ b>=2√ab
Vậy bất đẳng thức được CM
Tui mới học lớp 5 thui anh/chị ạ
Lê thị hương giang Có ai bắt bạn giải đâu mà lớp 5 các kiểu ????
Áp dụng BĐT phụ sau:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^4}{8}=2\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1