Cho a,b>0. CM
\(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 7 2017
a/ \(\frac{b}{b}.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{c}{c}.\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{a}{a}.\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
\(\le\frac{1}{b}.\left(\frac{3b^2+a^2}{4}\right)+\frac{1}{c}.\left(\frac{3c^2+b^2}{4}\right)+\frac{1}{a}.\left(\frac{3a^2+c^2}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)
Mà: \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Vậy có ĐPCM.
Câu b làm y chang.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
14 tháng 8 2019
a) \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{ab}\)
b) Giống câu a ?
c) \(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{a}\sqrt{4ab}+\frac{1}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\left(1+\frac{2}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{4b}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\right):\left(\frac{ab+2b-a+1}{ab}\right)\)
\(=\frac{ab-a+2b+1}{\sqrt{ab}}\cdot\frac{ab}{ab+2b-a+1}\)
\(=\sqrt{ab}\)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)+\(\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}\)-\(\frac{3ab}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)(*)
Nhưng mà theo bất đẳng thức AM-GM thì (*) tương đương với
2\(\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}}\)-\(\frac{3\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)
và tương đương với 4-\(\frac{3}{2}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)hiển nhiên đúng nên (*) đúng hay ta có đpcm
Vậy \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi a=b