Tam giác ABC có dộ dài 3 đường cao là: \(h_a,h_b,h_c\). Hỏi trong 5 bộ số sao, bộ số nào có thể là độ dài 3 đường cao của tam giác ABC
(A). (6,8,8) ; (B). (1;0,5;1,5) ; (C). (2,4,4) ; (D). (3,6,8) ; (E). (3,6,9)
Giải thích cách làm giùm thanks
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 5 2017
Theo đề bài thì ta có:
\(ah_a=bh_b=ch_c=2\)
Ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\ge\left(ah_a+bh_b+ch_c\right)^2\)
\(=\left(2+2+2\right)^2=36\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\\h_a=h_b=h_c=\sqrt[4]{3}\end{cases}}\)
1 tháng 1 2017
Tử số cũng biến thiên theo ha, hb, hc ...Suy luận được như trên chỉ khi Tử số là một số A không đổi.
Gọi S là diện tích tam giác, r là bánh kính đường tròn nội tiếp
Ta có
ha=2S/a =r(a+b+c)/a
=> ha^2 + hb^2 + hc^2 = r^2(a+b+c)^2 * (1/a^2+1/b^2+1/c^2)}
=> T = (a+b+c)^2/(ha^2+hb^2+hc^2) =
=1/r^2/(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
Ta c/m (1/a^2+1/b^2+1/c^2) <=1/4r^2 (*)
=> T<=1/4
=> Max(T) = 1/4 Khi tam giác đều
c/m bất đẳng thức (*)
S = pr
S= √p(p-a)(p-b)(p-c)
=> pr= √p(p-a)(p-b)(p-c)
=> (pr^2) = (p-a)(p-b)(p-c)
=> 1/r^2 = p/(p-a)(p-b)(p-c) = 1/((p-a)(p-b) + 1/(p-b)(p-c) + 1/(p-a)(p-c)
=> 1/4r^2 = 1/[a^2 - (b-c)^2] + 1/[b^2 - (a-c)^2] + 1/[c^2 - (b-a)^2] >= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> 1/4r^2>= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> (1/r^2)/ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 1/4
=> Dấu bằng xảy ra khi ha = hb = hc => Khi đó ABC là tam giác đều
Không mất tính tổng quát, giả sử ha là độ dài đường cao ứng với BC. Định nghĩa tương tự với hb và hc
Phương án A: Xét ha = 6, hb = hc = 8. Giả sử tồn tại tam giác ABC nhận bộ (6,8,8) làm độ dài 3 đường cao
Ta có 2.SABC = 6BC = 8AB = 8CA. Suy ra \(BC=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}CA\)
Đặt BC = a. Khi đó \(AB=CA=\frac{3}{4}a\). Ta thấy:
\(AB+CA=\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}a=\frac{3}{2}a>a=BC\)
\(BC+CA=BC+AB=a+\frac{3}{4}a=\frac{7}{4}a>\frac{3}{4}a=AB=CA\) (Đúng với ĐBT tam giác)
=> Tồn tại tam giác ABC nhận bộ (6,8,8) làm độ dài 3 đường cao => Chọn (A).
Phương án B: Loại vì một tam giác không thể chứa 5 đường cao.
Phương án C: Lập luận tương tự ta có \(BC=2CA=2AB\)
Tức là \(CA+AB=BC\) (Mâu thuẫn với BĐT tam giác) => Loại (C).
Phương án D: \(3BC=6CA=8AB\Rightarrow BC=2CA=\frac{8}{3}AB\)
Hay \(BC=a,CA=\frac{a}{2},AB=\frac{3}{8}a\). Có \(CA+AB=\frac{a}{2}+\frac{3}{8}a=\frac{7}{8}a< a=BC\)
=> Mâu thuẫn với BĐT tam giác => Loại (D).
Phương án E: \(3BC=6CA=9AB\Rightarrow BC=2CA=3AB\)
Hay \(BC=a,CA=\frac{a}{2},AB=\frac{a}{3}\). Có \(CA+AB=\frac{a}{2}+\frac{a}{3}=\frac{5}{6}a< a=BC\)
=> Mâu thuẫn với BĐT tam giác => Loại (E).
Vậy chỉ có bộ số (A). (6,8,8) thỏa mãn đề.
Gọi a,b,c là 3 cạnh tương ứng với đường cao \(h_a;h_b;h_c\)
Có: \(a< b+c\Rightarrow\frac{2S}{h_a}< \frac{2S}{h_b}+\frac{2S}{h_c}\Rightarrow\frac{1}{h_a}< \frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Tương tự với \(h_b;h_c\)
Xét: (B): (10;5;15) \(\frac{1}{5}>\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}\)(không là độ dài 3 đường cao)
Xét: (C): \(\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)(không là độ dài 3 đường cao)
Xét (D): \(\frac{1}{3}>\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}\)(không là độ dài 3 đường cao)
Xét: (E): \(\frac{1}{3}>\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}\)(không là độ dài 3 đường cao)
Chọn A