Question

[Kiên-Messi-8A-Boy2k6]

CMR: Với a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow abc⋮60\)

Chả lời thì cẩn thận, còn không thì thôi

Answer 1

[Tuấn Nguyễn]

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3 
=> a² = 1 (mod3) và b² = 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)
=> a² + b² = 2 (mod3) nhưng c² = 1 (mod3) => Mâu thuẫn
Vậy sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3 (1)
- Tương tự, có ít nhất một số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4.
=> a² = 1 (mod4) và b² = 1 (mod4) => a² + b² = 2 (mod4) nhưng c² = 1 (mod4) => mâu thuẫn.
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2) + tương tự a² = 1 (mod 5) hoặc a² = -1 (mod 5) hoạc a² = 4 (mod 5) 
Và: -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3 
=> phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)
Từ (1),(2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60.

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

cẩn thận nè : 

60 = 2² . 3 . 5 , a² + b² = c²                                                   ( 1 )

nhận xét : n = BS3 \(\pm\)1 \(\Rightarrow\)n² = BS3 + 1 , n = BS5 \(\pm\)1 \(\Rightarrow\)n² = BS5 + 1, n = BS5 \(\pm\)2 \(\Rightarrow\)n² = BS5 + 4,

n = BS4 \(\pm\)1 \(\Rightarrow\)n² = BS8 + 1, n = BS4 \(\pm\)2 \(\Rightarrow\)n² = BS8 + 4

Nếu a,b,c đều không chia hết cho 3 thì a²,b²,c² đều chia 3 dư 1.

Khi đó a² + b² = BS3 + 2, còn c² = BS3 + 1, trái với ( 1 )

Vậy tồn tại trong 3 số a,b,c chia hết cho 3, do đó abc \(⋮\)3

Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a²,b²,c² chia cho 5 dư 1 hoặc 4

Khi đó a² + b² chia cho 5 dư 0,2,3 còn c² chia cho 5 dư 1, 4  trái với ( 1 ) 

Vậy tồn tại 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 5 , do đó abc \(⋮\)5

Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a²,b²,c² chia cho 8 dư 1 hoặc 4

Khi đó a² + b² chia cho 8 dư 0,2,5 còn c² chia cho 8 dư 1,4  trái với ( 1 )

Vậy tồn tại 1 trong các số a,b,c chia hết cho 4 , do đó abc \(⋮\)4

Tóm lại abc \(⋮\)3.4.5 = 60