Question

[Lê Thụy Sĩ]

a) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{x}+y=3\\\frac{1}{x}-2y=4\end{matrix}\right.\)

b) Cho parabol (P): \(y=-\frac{1}{6}x^2\). Tìm tọa độ các điểm thuộc Parabol có tung độ y=-9.

c) Cho \(a=\sqrt{11+6\sqrt{2}},b=\sqrt{11-6\sqrt{2}}\). Chứng minh rằng a, b là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số là số nguyên.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ ĐKXĐ: \(x\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{x}+2y=6\\\frac{1}{x}-2y=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{5}{x}=10\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Thay vào pt đầu: \(\frac{2}{\frac{1}{2}}+y=3\Leftrightarrow4+y=3\Rightarrow y=-1\)

Vậy nghiệm của hệ: \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};-1\right)\)

b/ Thay \(y=-9\) vào pt parabol:

\(-9=-\frac{1}{6}x^2\Leftrightarrow x^2=54\Rightarrow x=\pm3\sqrt{6}\)

Vậy có 2 điểm: \(A\left(-3\sqrt{6};-9\right)\) và \(B\left(3\sqrt{6};-9\right)\)

c/ \(a=\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}=3+\sqrt{2}\)

Tương tự ta có \(b=\sqrt{11-6\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6\\ab=\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)=9-2=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của pt: \(x^2-6x+7=0\)

\(\Rightarrow a;b\) là nghiệm của pt bậc 2 có các hệ số nguyên