Chứng minh bất đẳng thức (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) >= (ax + by)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
1
B
24 tháng 8 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
TM
15 tháng 3 2017
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
ND
2 tháng 4 2018
Sửa đề:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Xét hiệu:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)
\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)
\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)
\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
BD
6 tháng 6 2016
\((a^2 +b^2).(x^2 +y^2) \ge (ax+by)^2\)
dấu " = " xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\)
Vì \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} \Rightarrow ay=bx\)
\((a^2 +b^2).( x^2 +y^2)= a^2.x^2 +a^2.y^2 +b^2.x^2 + b^2.y^2 \)
\(= a^2.x^2 + b^2.x^2 +b^2.x^2 +b^2.y^2 \)
\(= (ax)^2 +2.b^2.x^2 + (by)^2 \)
\(= (ax)^2 +2.ax.by + (by)^2\) (tách \(b^2.x^2= b.x.b.x = a.y.b.x= ax.by\))
\(= (ax+by)^2 \)
=> đpcm
C
23 tháng 7 2018
(a2+b2).(x2+y2)≥(ax+by)2(a2+b2).(x2+y2)≥(ax+by)2
dấu " = " xảy ra khi ax=byax=by
Vì ax=by⇒ay=bxax=by⇒ay=bx
(a2+b2).(x2+y2)=a2.x2+a2.y2+b2.x2+b2.y2(a2+b2).(x2+y2)=a2.x2+a2.y2+b2.x2+b2.y2
=a2.x2+b2.x2+b2.x2+b2.y2=a2.x2+b2.x2+b2.x2+b2.y2
=(ax)2+2.b2.x2+(by)2=(ax)2+2.b2.x2+(by)2
=(ax)2+2.ax.by+(by)2=(ax)2+2.ax.by+(by)2 (tách b2.x2=b.x.b.x=a.y.b.x=ax.byb2.x2=b.x.b.x=a.y.b.x=ax.by)
=(ax+by)2
31 tháng 3 2018
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
H
1
28 tháng 9 2021
\(a,\left(a^2-b^2\right)^2+4\left(ab\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\\ =a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\\ b,\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\\ =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\\ \left(ax+by\right)^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\\ \Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ne\left(ax+by\right)^2\)
Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
KH
0
K
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2019
Lời giải:
Thực hiện khai triển ta có:
\((x+y+z)(a+b+c)=ax+by+xz+x(b+c)+y(a+c)+z(a+b)\)
\(=ax+by+cz+(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ac)(a+c)+(c^2-ab)(a+b)\)
\(=ax+by+cz+(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)-(b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2)\)
\(=ax+by+cz+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+(b^2c-b^2c)+(bc^2-bc^2)+(ac^2-ac^2)+(a^2c-a^2c)\)
\(=ax+by+cz\)
Ta có đpcm.
nhân ra xong chuyển vế mà làm
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(\text{ax}+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\), luôn đúng