K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 4 2019

x,y,z là số thực hay số dương vậy?

29 tháng 4 2019

Nếu x,y,z dương thì như sau:

Áp dụng bất đẳng thức phụ: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Chứng minh: \(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (Bunyakovsky cho 3 số)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+xz\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Ta có

\(\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{x+z}+\frac{1+z^2}{x+y}\ge\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\)

\(=\frac{x^2}{\frac{1}{2}\left(xy+xz\right)}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}\left(xy+yz\right)}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}\left(xz+yz\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xy+yz+xz}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTNN của biểu thức trên là 3 khi x=y=z=1

Còn x,y,z là số thức thì không biết 

30 tháng 5 2017

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

30 tháng 5 2017

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

22 tháng 8 2019

\(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)+y\left(1-\frac{z^2}{1+z^2}\right)+z\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)=\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\frac{9}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)

Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)

21 tháng 1 2016

à nhầm ở dòng 3 cáii\(\frac{y-x}{x-y}=k\) chứ ko phải như trên đâu nha

 

21 tháng 1 2016

<=>\(\frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{x+z}{y}=\frac{x+y+y+z+x+z}{z+x+y}=\frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

1 tháng 8 2017

x^2+x+y^2+y+z^2+z<=18 suy ra (x+y+z)^2/3+x+y+z<=18

Đặt x+y+z=t thì t^2/3+t-18<=0 suy ra t^2+3t-54<=0>>>(t+9)(t-6)<=0>>>t-<=0>>>t<=6

P>=(1+1+1)^2/2x+2y+2z+3(BĐT Cauchuy-Swartch)=9/2(x+y+z)+3>=9/2.6+3=9/15=3/5

Dấu = khi x=y=z=2(tính dấu = của BĐT Cauchuy-Swartch nhé)

giống cách mình,mà đó là schwarts mà Hoàng Minh Hoàng

20 tháng 8 2019

Bài này thì chắc cô si ngược dấu thôi:v

\(LHS=\Sigma\frac{x}{1+y^2}=\Sigma x.\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\)

\(\ge\Sigma x\left(1-\frac{y}{2}\right)=x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

P/s: check xem có ngược dấu chỗ nào ko:v

30 tháng 5 2019

Ta có \(\frac{y}{x\sqrt{y^2+1}}=\frac{y\sqrt{xz}}{x\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(y+z\right).z\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yz}{2xz+xy+yz}\)

Đặt \(a=xy,b=yz,c=xz\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Khi đó

\(P\ge\frac{2b}{2c+a+b}+\frac{2c}{2a+b+c}+\frac{2a}{2b+a+c}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+a^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\)

Xét \(P\ge\frac{3}{2}\)

=> \(4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\left(ab+bc+ac\right)\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\left(ab+bc+ac\right)\)(luôn đúng )

Vậy \(MinP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=3=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)