Question

[Phượng Hoàng Lửa]

C/M x^2015+x+1 chia hết cho x^2+x+1

Answer 1

[Nguyễn Thành Công]

Trước tiên sử dụng HĐT aⁿ-1=(a-1)(a^n-1+a^n-2+...+a²+a+1) 

( nếu yêu cầu chứng minh ta  biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách sử dụng phép nhân đa thức)

Do đó aⁿ-1 chia hết cho a-1 (*)

Ta có A(x)= x²⁰¹⁵+x+1=x²⁰¹⁵-x²+x²+x+1

=x²(x²⁰¹³-1)+(x²+x+1)=x²[(x³)⁶⁷¹-1]+(x²+x+1)

Áp dụng (*) (x³)⁶⁷¹-1 chia hết cho x³-1 nên A(x)=(x³-1).B(x)+(x²+x+1)

=(x+1)(x²+x+1).B(x)+(x²+x+1)=(x²+x+1).C(x) nên A(x) chia hết cho x²+x+1