Cho x,y,z>0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{16}{x+y+z}\).Tìm min \(P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AV
1
31 tháng 7 2019
Ta có \(A=2x+3y+5z+\frac{1}{x}+\frac{8}{y}+\frac{16}{z}\)
\(=\left(x+y+z\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{8}{y}\right)+\left(4z+\frac{16}{z}\right)\)
\(\ge5+2+2\sqrt{2.8}+2\sqrt{4.16}=31\)
MinA=31 khi a=1; b=c=2
12 tháng 10 2017
Ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{16}.4.4=1\)
12 tháng 10 2017
Để đơn giản bài toán thì ta xét trường hợp cá biệt. \(x=y\) thì đề ban đầu trở thành.
\(x,z>0,\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=4\)
Đễ thấy \(\frac{1}{z}< 4\)
\(\Leftrightarrow z>0,25\)
Với \(z\) càng gần bằng 0,25 thì \(\frac{1}{z}\)càng gần với 4
\(\Rightarrow\frac{2}{x}=4-\frac{1}{z}\) càng gần = 0
\(\Rightarrow x\)càng lớn
\(\Rightarrow M\) càng bé nhưng giá trị chỉ dần về 0 chứ không thể bằng 0 được.
Vậy đề trên là sai.
AQ
1
N
31 tháng 8 2016
ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)(dấu = xảy ra khi \(\left(y+z\right)^2=4x^2\)↔y+z=2x)
tương tự ta có:\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(dấu = cũng xảy ra khi x+z=2y;x+y=2z)
cộng từng vế ta có:P+\(\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
→P\(\ge\frac{x+y+z}{2}\)mà x+y+x=1
\(P\ge\frac{1}{2}\)↔\(\begin{cases}y+z=2x\\x+z=2y\\x+y=2z\end{cases}\)→x=y=z=1/3
28 tháng 5 2019
Có \(18\ge x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}}{3}-\frac{3}{4}=\frac{\left(x+y+z+\frac{3}{2}\right)^2}{3}-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z+\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{225}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(-9\le x+y+z\le6\)
\(B\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}\ge\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=2\)
G
28 tháng 5 2019
\(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+x+y+z\le18\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)\le18\)
Đặt: \(x+y+z=t>0\Rightarrow\frac{t^2}{3}+t\le18\Leftrightarrow\left(t+9\right)\left(t-6\right)\le0\Rightarrow t\le6\left(t>0\right)\)
\(B=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\frac{3}{5}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=2\)
NA
4
18 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy có:
S= \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{4}{y}\)+\(\frac{9}{z}\)= \(\frac{1^2}{x}\)+ \(\frac{2^2}{y}\)+\(\frac{3^2}{z}\)>= \(\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\)= \(\frac{6^2}{1}\)=36
Vậy Min S=36
HN
5 tháng 7 2018
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)
\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
BC
1
10 tháng 11 2019
\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
YLê Anh DuyPhùng Tuệ Minh Akai Haruma