BC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NA
0
N
22 tháng 8 2019
\(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)+y\left(1-\frac{z^2}{1+z^2}\right)+z\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)=\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\frac{9}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 9 2020
\(A\ge\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\right)^2=\frac{100}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
30 tháng 10 2019
Áp dụng Bunhia.
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.3=9\)
=> \(0< x+y+z\le3\)
Có: \(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(=\frac{x^2-2x+1}{x}+\frac{y^2-2y+1}{y}+\frac{z^2-2z+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)
\(=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}+\frac{\left(y-1\right)^2}{y}+\frac{\left(z-1\right)^2}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}-\frac{1}{x+y+z}+6=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2-1}{x+y+z}+6\)
\(\ge\frac{0-1}{3}+6=\frac{17}{3}\)
"=" xảy ra <=> \(x+y+z=3;x=y=z\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy min P = 17/3 <=> x = y = z =1.
14 tháng 11 2019
\(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=x+y+z+\frac{8x}{9}+\frac{8y}{9}+\frac{8z}{9}\)
Có BĐT phụ \(a+\frac{8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9a^2+8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow162a^2+144-9a^3-297a\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^3+18a^2-33a+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(16-a\right)\ge0\left(OK\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 11 2019
a/ \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\left(x+1\right)\left(\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}-1\right)+2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{x+1}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)
b/ \(Q\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(Q\ge\frac{27\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^3}+\frac{\left(x+y+z\right)^6}{27\left(x+y+z\right)^2}=\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}\)
\(Q\ge\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}+\frac{837}{32\left(x+y+z\right)^2}\)
\(Q\ge3\sqrt[3]{\frac{27^2\left(x+y+z\right)^4}{64^2.27\left(x+y+z\right)^4}}+\frac{837}{32.\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{195}{16}\)
"=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
23 tháng 11 2019
Nguyễn Trúc Giang, Duy Khang, Vũ Minh Tuấn, Võ Hồng Phúc, tth, No choice teen, Phạm Lan Hương,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma
giúp em vs ạ! Cần trước 5h chiều nay ạ
Thanks nhiều
26 tháng 8 2019
3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)
=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)
AD bđt cosi vs hai số dương có:
\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)
Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))
=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)
<=> P \(\ge4.5\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
=> a=2,b=3
Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2
\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)