Question

[Phạm Hoàng Quân]

Cho A = 2+2 mũ 2 + ...+2 mũ 60

Chứng minh A chia hết cho 3, 7, 15

Answer 1

[Phạm Trà Giang]

+) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰ = ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) + ... + ( 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

= 2( 1 + 2 ) + 2³( 1 + 2 ) + ... + 2⁵⁹( 1 + 2 ) = 2 . 3 + 2³ . 3 + ... + 2⁵⁹ . 3

= ( 2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ ) . 3 chia hết cho 3 ( ĐPCM )

+) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰ = ( 2 + 2² + 2³ ) + ( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ ) + ... + ( 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

= 2( 1 + 2 + 2² ) + 2⁴( 1+ 2 + 2² ) + ... + 2⁵⁸( 1 + 2 + 2² )

= 2 . 7 + 2⁴ . 7 + ... + 2⁵⁸ . 7 = ( 2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸ ) . 7 chia hết cho 7 ( ĐPCM )

+) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰ = ( 2 + 2³ ) + ( 2² + 2⁴ ) + ... + ( 2⁵⁸ + 2⁶⁰ )

= 2( 1 + 2² ) + 2²( 1 + 2² ) + ... + 2⁵⁸( 1 + 2² ) = 2 . 5 + 2² . 5 + ... + 2⁵⁸ . 5

= ( 2 + 2² + ... + 2⁵⁸ ) . 5 chia hết cho 5

Mà A cũng chia hết cho 3 và ( 3, 5 ) = 1 => A chia hết cho 15 ( ĐPCM )

Answer 2

[Phạm Hoàng Quân]

Cảm ơn bạn nhiều !!!

MBĐTTBRĐ