Cho a,b,c là các số dương và a+b+c > 2. Chứng minh rằng ( a2/b+c + b2/c+a + c2/a+b ) > 1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
TT : ....
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{b+c}{4}-\frac{a+c}{4}-\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)( 1 )
Mà a + b + c > 2 \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}>1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>1\)