Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 2 bộ số \(\left(a,b,c\right)\)và \(\left(1,1,1\right)\)ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\).
Dấu \(=\)xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
Còn cách khác :3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Vậy ta có điều phải chứng minh
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)
\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\): \(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)
Mà a,b,c > 0 => abc > 0
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
áp dụng bdt svacxơ => VT >=(a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP (dpcm)
Xét hiểu hai vế: \(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}-\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-ab\right)+\left(a^2-ac\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-bc\right)+\left(b^2-ab\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c^2-ca\right)+\left(c^2-bc\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)+a\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-c\right)+b\left(b-a\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)+c\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a^2+ac-b^2-bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (BĐT đúng)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b =c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra
a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
b/ Áp dụng câu a:
\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
TT : ....
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{b+c}{4}-\frac{a+c}{4}-\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)( 1 )
Mà a + b + c > 2 \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}>1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>1\)