Tìm \(x,y\in Z\) thỏa mãn \(x^2+5y^2-4xy-4y+3=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KJ
1
18 tháng 8 2019
\(4x^2+4y-4xy+5y^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(2y+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
VP
0
TH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2022
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=\left\{-1;-3;1\right\}\)
Thế vào pt ban đầu tìm x nguyên tương ứng
18 tháng 2 2022
\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
Ta có: \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\ge\left(y+1\right)^2\)
Mà \(y\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\)
Với \(\left(y+1\right)^2=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1\)
Thay y=-1 vào pt (1) ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\x=0\end{matrix}\right.\)
Với \(\left(y+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=1\\y+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Thay y=0 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên
Thay y=-2 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên
Với \(\left(y+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=-2\\y+1=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)
Thay y=-3 vào pt (1) tìm được \(x=-6\)
Thay y=1 vào pt (1) tìm được \(x=2\)
L
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow x^2-4xy+(5y^2+2y-3)=0$
Dấu "=" tồn tại nghĩa là pt luôn có nghiệm.
$\Leftrightarrow \Delta'=(2y)^2-(5y^2+2y-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow -y^2-2y+3\geq 0$
$\Leftrihgtarrow y^2+2y-3\leq 0$
$\Leftrightarrow (y-1)(y+3)\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1$
$\Rightarrow y_{\max}=1$
VT
1
LV
5 tháng 8 2017
Điểm rơi: x=4;y=2;z=4
\(A=x^2+4xy+4y^2+2z^2=\left(x-2y\right)^2+8xy+2z^2\)
Mà \(xyz=32\Leftrightarrow z^2=\frac{32^2}{x^2y^2}\)
\(VT=\left(x-2y\right)^2+8xy+\frac{2.32^2}{x^2y^2}\ge0+4xy+4xy+\frac{2.32^2}{x^2y^2}\)
Áp dụng AM-GM:
\(4xy+4xy+\frac{2048}{x^2y^2}\ge3\sqrt[3]{32768}=96\)
\(VT\ge96\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2y\\xy=8\end{cases}}\)....
T
22 tháng 12 2023
Ta có:
\(x^2+5y^2-4x-4xy+6y+5=0\\\Rightarrow[(x^2-4xy+4y^2)-(4x-8y)+4]+(y^2-2y+1)=0\\\Rightarrow[(x-2y)^2-4(x-2y)+4]+(y-1)^2=0\\\Rightarrow(x-2y-2)^2+(y-1)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-2y-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)
Mà: \(\left(x-2y-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-2=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y+2\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot1+2=4\\y=1\end{matrix}\right.\)
Thay \(x=4;y=1\) vào \(P\), ta được:
\(P=\left(4-3\right)^{2023}+\left(1-2\right)^{2023}+\left(4+1-5\right)^{2023}\)
\(=1^{2023}+\left(-1\right)^{2023}+0^{2023}\)
\(=1-1=0\)
Vậy \(P=0\) khi \(x=4;y=1\).
LT
1
9 tháng 6 2020
Đưa phương trình trên về dạng (x-2y+3)^2+(y+2)^2\(\le0\)
Giải và tìm được x=-7 ; y=-2
Kết luận nghiệm x=-7 và y=-2
\(x^2+5y^2-4xy-4y+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)
Vì \(x;y\in Z\)\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0\) và \(\left(x-2y\right)^2;\left(y-2\right)^2\in N\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=1\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y-2\right)^2=1=0^2+1^2\)
Vì \(x,y\in Z\) nên ta có các trường hợp sau:
+ TH1 : \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=3\end{matrix}\right.\left(TM\right)\)
+ TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\y-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\left(TM\right)\)
+ TH3 : \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=1\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=2\end{matrix}\right.\) (TM )
+ TH4 : \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=-1\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\left(TM\right)\)
Vậy có 4 cặp số (x,y) thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( 6 ; 3 ) ; ( 2 ; 1 ) ; ( 5 ; 2 ) ; ( 3 ; 2 ).