Tìm GTLN của biểu thức :
\(P=\left|\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13}\right|\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 12 2019
Lời giải:
Ta có:
\(A^2=(\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13})^2=2x^2+2x+18-2\sqrt{(x^2-4x+5)(x^2+6x+13)}(*)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x^2-4x+5)(x^2+6x+13)=[(x-2)^2+1^2][(x+3)^2+2^2]\)
\(\geq [(x-2)(x+3)+1.2]^2=(x^2+x-4)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x^2-4x+5)(x^2+6x+13)}\geq |x^2+x-4|\geq x^2+x-4(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A^2\leq 2x^2+2x+18-2(x^2+x-4)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 26\Rightarrow A\leq \sqrt{26}\)
Vậy $A_{\max}=\sqrt{26}$. Dấu "=" xảy ra khi $x=7$
CV
10 tháng 7 2018
1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4
--> Pmin=4 khi x=4
4 tháng 5 2021
2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1
=> M=2x2-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t2-5)+t+6
<=> M=2t2+t-4\(\ge\)2.12+1-4=-1
Mmin=-1 khi t=1 hay x=2
Không chắc lắm nha! Phần BĐT phụ mình có đc là nhờ sách nâng cao nên ms làm đc thôi!
Ta c/m BĐT phụ: \(\left|\sqrt{f^2+g^2}-\sqrt{h^2+k^2}\right|\le\sqrt{\left(f-h\right)^2+\left(g-k\right)^2}\) với f - h;g-k là hằng số. (1)
Bình phương hai vế,ta có: \(BĐT\Leftrightarrow f^2+g^2+h^2+k^2-2\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\le f^2+h^2-2fh+g^2+k^2-2gk\)
\(\Leftrightarrow fh+gh\le\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\) (2)
Nếu fh + gh < 0 thì (2) đúng
Nếu fh + gh >= 0 thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow f^2h^2+g^2k^2+2fhgi\le f^2h^2+f^2k^2+g^2h^2+g^2k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(fk-gh\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "=" xảy ra fk = gh và fh + gk >= 0 (trích chứng minh BĐT ở sách 9 chuyên đề đại số THCS_ Vũ Hữu Bình)
Quay lại bài toán,ta có: \(P=\left|\sqrt{\left(x-2\right)^2+1^2}-\sqrt{\left(x+3\right)^2+2^2}\right|\)
\(\le\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)
Dấu "=" xảy ra khi 2(x-2) = 1(x+3) và (x-2)(x+3) + 1(x+3) >=0
Tức là x = 7 (t/m)