Question

[ninh lê]

1)viết phương trình tổng quát của (Δ) đi qua điểm M (1;2) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB

2) cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3;0), trực tâm H(-1;4) và trung điểm của cạnh BC là điểm M(0;-3). xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

3) trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD và CD= 2AB. gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Biết B(5;6), đường thẳng DH:2x-y=0, đường thẳng DM:x-3y+5=0. tìm tọa độ các điểm A,C,D

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1/ Gọi phương trình \(\Delta:ax+by+c=0\)

Do \(M\in\Delta\Rightarrow a+2b+c=0\Rightarrow c=-a-2b\)

\(\Rightarrow\Delta:ax+by-a-2b=0\)

Gọi A là giao của \(\Delta\) và Ox: \(A\left(\frac{a+2b}{a};0\right)\)

Gọi B là giao của \(\Delta\) và Oy \(\Rightarrow B\left(0;\frac{a+2b}{b}\right)\)

Do M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)

\(\Rightarrow\left(1-\frac{a+2b}{a};2\right)=\left(-1;\frac{a-2b}{b}-2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\frac{a+2b}{a}=-1\\\frac{a+2b}{b}-2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=2b\)

Phương trình \(\Delta:2bx+by-2b-2b=0\)

\(\Leftrightarrow2x+y-4=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2/

\(\overrightarrow{IM}=\left(3;-3\right)\) mà \(IM\perp BC\) \(\Rightarrow\) phương trình BC:

\(1\left(x-0\right)-1\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\Rightarrow B\left(b;b-3\right)\)

Trên tia đối của tia IA lấy D sao cho \(ID=IA\Rightarrow AD\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC

H là trực tâm \(\Rightarrow BH\perp AC\), mà \(CD\perp AC\) (\(\widehat{ACD}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BH//CD\)

Chứng minh tương tự ta có \(CH//BD\Rightarrow BHCD\) là hbh

BC, HD là 2 đường chéo của hbh, mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\) là trung điểm HD

Trong tam giác AHD, có M là trung điểm HD, I là trung điểm AD \(\Rightarrow IM\) là đường trung bình \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(6;-6\right)\Rightarrow A\left(-7;10\right)\)

M là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_M-x_B=-b\\y_C=2y_M-y_B=-b-3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(b+7;b-13\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(b-1;b+7\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0\Rightarrow\left(b+7\right)\left(b-1\right)+\left(b-13\right)\left(b+7\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b+7\right)\left(2b-14\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=7\\b=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(7;4\right);C\left(-7;-10\right)\\B\left(-7;-10\right);C\left(7;4\right)\end{matrix}\right.\)