Question

[Đặng Quốc Huy]

Cho M=2^1+3^5+4^9+.................+2018^8065+2019^8069.Tìm chữ số tận cùng của M

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Tất cả số hạng tổng trên đều có dạng \(a^{4n+1}=a.a^{4n}\)

- Nếu a tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì \(a^{4n+1}\) tận cùng giống tận cùng của a

- Nếu a tận cùng là 7, 9 \(\Rightarrow a^2\) tận cùng là 1 \(\Rightarrow a^{4n}\) tận cùng là 1 \(\Rightarrow a^{4n}.a\) có tận cùng giống a

- Nếu a tận cùng là 3 \(\Rightarrow a^2\) tận cùng là 9 \(\Rightarrow a^{4n}\) tận cùng là 1 \(\Rightarrow a^{4n}.a\) tận cùng giống a

- Nếu a tận cùng là 2 \(a^{4n}\) tận cùng là 6 \(\Rightarrow a^{4n}.a\) tận cùng giống \(6.2\Rightarrow\) tận cùng là 2 \(\Rightarrow\) giống a

- Chứng minh tương tự ta có các số tận cùng là 4, 8 thì \(a^{4n}.a\) cũng có tận cùng giống a

Vậy \(a^{4n+1}\) có chữ số tận cùng giống a với mọi a

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của M giống chữ số tận cùng của N với N là tổng:

\(N=2+3+4+...+2019=\frac{2019.2020}{2}-1=2019.1010-1\)

Do \(2019.1010\) có tận cùng là 0 \(\Rightarrow N\) tận cùng là 9 \(\Rightarrow M\) tận cùng là 9