\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\\x^2+y^2+z^2=17\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
a/ Đơn giản là dùng phép thế:
\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)
Thế vào pt cuối:
\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)
Vậy là xong
b/ Sử dụng hệ số bất định:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)
Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)
Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):
\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2020
ĐKXĐ: ...
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\\xy+yz+zx=\frac{1}{3}xyz\\x^2+y^2+z^2=17\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\\xy+yz+zx=\frac{1}{3}xyz\\xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-4\\xyz=-12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=3-x\\yz=-4-x\left(y+z\right)=-4-x\left(3-x\right)\\xyz=-12\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\left(-4-3x+x^2\right)=-12\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-4x+12=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
26 tháng 4 2020
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
T
25 tháng 4 2020
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
22 tháng 8 2019
\(a)DK:z\ne1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{z-1}+2x=7\\5x-3y=3\\\frac{2}{z-1}+y=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{z-1}+x=\frac{7}{2}=3,5\\5x-3y=3\\\frac{2}{z-1}+y=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-1\\5x-3y=3\\\frac{2}{z-1}+y=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x-5y=-5\\5x-3y=3\\\frac{2}{z-1}+y=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y=-8\\5x-3y=3\\\frac{2}{z-1}+y=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=4\\5x=15\\\frac{2}{z-1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\\z=5\end{matrix}\right.\left(T/m\right)\)
Vậy ...
\(b)DK:\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ne0\\x,y,z>0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}=2\\y+\frac{1}{z}=2\\z+\frac{1}{x}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2.\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right)+\left(y-2.\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{y}\right)+\left(z-2\sqrt{z}.\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{z}\right)+2+2+2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=0\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2;\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2;\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\\\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{z}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=1\left(T/m\right)\)
Vậy ...
25 tháng 4 2020
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 4 2020
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
a.
\(\frac{3x-36}{12}=\frac{5y-45}{15}=\frac{z-1}{1}=\frac{3x+5y-z-50}{26}=\frac{-48}{26}\)
\(\Rightarrow\frac{x-12}{4}=\frac{-48}{26}\Rightarrow x=...\)
Tương tự với y, z, nhưng chắc bạn nhầm đề, nếu pt bên dưới là -2 thì nó ra \(\frac{-52}{26}=-2\) kết quả đẹp hơn nhiều
b. Không rõ đề
c.
\(x+y+z=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=81=3.27=3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow\frac{3}{x}=1\Rightarrow x=y=z=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2020
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y+z}{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{y\left(z+x\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{z\left(x+y\right)}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) lần lượt chia vế cho vế ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y\left(z+x\right)}{x\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\\\frac{z\left(x+y\right)}{x\left(y+z\right)}=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\yz=2xy+xz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\3yz=6xy+3zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow yz=5xy\Rightarrow z=5x\)
Thế vào \(yz=2xy+zx\Rightarrow5xy=2xy+5x^2\)
\(\Leftrightarrow3xy=5x^2\Rightarrow y=\frac{5x}{3}\)
Thế vào pt đầu: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{23}{10}\)
\(\Rightarrow y=\frac{23}{6};z=\frac{23}{2}\)