cho abc là 3 cạnh của 1 tam giác .tìm max của:
\(M=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{3abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 10 2016
1.
Áp dụng hệ quả cô si:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^{1000}\le3^{999}\left(a^{2000}+b^{2000}+c^{2000}\right)=3^{1000}\)
=>\(a^2+b^2+c^2\le3\)Dấu = khi a=b=c=1
không biết đúng hay sai đâu
31 tháng 1 2020
\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )
30 tháng 8 2016
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} (a+b-c)(b+c-a)\leq \frac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2\\ (a+b-c)(c+a-b)\leq \frac{(a+b-c+c+a-b)^2}{4}=a^2\\ (b+c-a)(c+a-b)\leq \frac{(b+c-a+c+a-b)^2}{4}=c^2\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế và rút gọn, suy ra:
\((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
\(\Rightarrow F=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{3abc}\leq \frac{abc}{3abc}=\frac{1}{3}\)
Vậy \(F_{\max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\)
DD
12 tháng 8 2017
kết quả thì đúng rồi nhưng cho mình hỏi BĐT AM-GM là gì được không vậy
13 tháng 10 2016
Ta có
\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)
\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)
\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
:https://youtu.be/cs8x53kQFN4
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\a+c-b=y\\b+c-a=z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
\(M=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{3abc}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{xyz}{\frac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2.2.2}}=\frac{8xyz}{3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\le\frac{8xyz}{3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\frac{8xyz}{3.8xyz}=\frac{1}{3}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=a+c-b\\a+c-b=b+c-a\\a+b-c=b+c-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\\c=a\end{cases}}}\)
Vậy \(M_{max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\)