Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E,F,N(E khác A,B và F khác A,C). Chứng minh: \(\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{2AM}{AN}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 9 2017
qua B và C kẻ đường // (d) cắt AM tại P & Q => BPCQ là hình bình hành => PM = QM
ta có AB/AE = AP/AN
AC/AF = AQ/AN
=> AB/AE + AC/AF = AP/AN + AQ/AN = ( AM - PM)/AN + ( AM + QM)/AN
= 2AM/AN ( do PM = QM)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 5 2018
Lời giải:
Bạn tự vẽ hình nhé.
a) Ta thấy \(\widehat{MFC}=90^0-\widehat{MAF}(1)\)
VÌ $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM=MC\)
\(\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MBA}=\widehat{MAB}=90^0-\widehat{MAF}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{MFC}=\widehat{MBE}\)
Xét tam giác $MBE$ và $MFC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBE}=\widehat{MFC}\\ \widehat{BME}=\widehat{FMC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle MBE\sim \triangle MFC(g.g)\)
b) Theo phần a thì \(\widehat{MBE}=\widehat{MFC}\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\)
Xét tam giác $ABC$ và $AFE$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\\ \text{chung góc A}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle AFE(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)
c)
Do $AH,AM$ là hai đường cao tương ứng đỉnh $A$ của hai tam giác đồng dạng $ABC$ và $AFE$ nên \(\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\)
Do đó \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{\frac{AB.AC}{2}}{\frac{AE.AF}{2}}=\frac{AB}{AF}.\frac{AC}{AE}=\left(\frac{AH}{AM}\right)^2(*)\)
Xét tam giác $AMI$ và $AHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \widehat{AMI}=\widehat{AHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMI\sim \triangle AHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AH}{AM}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AM}{AI}\right)^2\) (đpcm)