Chứng minh rằng với x,y là hai số thực không âm thỏa mãn \(x+y\ge1\)ta luôn có :
\(\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{y^2+y+4}\le2+\sqrt{\left(x+y\right)^2+x+y+4}\)
Ai biết làm không giúp với.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
Đặt \(A=x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left[x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\right]^2\le\left(x^2+16-x^2\right)\left(16-y+y\right)\\ \Leftrightarrow A^2\le16\cdot16=256\\ \Leftrightarrow A\le16\\ A_{max}=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16-x^2}=\dfrac{16-y}{y}\Leftrightarrow x^2y=256-16y-16x^2+x^2y\\ \Leftrightarrow16x^2+16y-256=0\\ \Leftrightarrow x^2+y-16=0\\ \Leftrightarrow x^2=16-y\Leftrightarrow x=\sqrt{16-y}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 5 2021
Đề bài sai, phản ví dụ:
Với \(x=1;y=0\) thì x;y thỏa mãn \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\)
Nhưng \(P=1-\sqrt{6}\) không phải số nguyên
19 tháng 5 2019
Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
Thật vậy, ta có
Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)
15 tháng 10 2021
\(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x}+\sqrt{y}\\ A=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\)
Đề sai
15 tháng 10 2021
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(=2\sqrt{x}\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)