Tim GTNN cua A=\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\) voi a,b,c la cac so duong va a+b+c=6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 4 2017
Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2a+1\ge0\)
<=> \(a^2+1\ge2a\)
=> \(\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự ta cm được: \(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
=> P=\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
dấu bằng sảy ra khi a=b=c=1
vậy PMAX = \(\dfrac{3}{2}\) khi a=b=c=1
25 tháng 5 2022
Câu 1:
a: \(P=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x+15}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{3}\)
\(=\dfrac{-3\sqrt{x}+15}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{-\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}\)
b: Thay \(x=11-6\sqrt{2}\) vào P, ta được:
\(P=\dfrac{-\left(3-\sqrt{2}\right)+5}{3-\sqrt{2}-3}=\dfrac{-3+\sqrt{2}+5}{-\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}+1\)
9 tháng 9 2018
Với a, b, c là các số nguyên dương
=> a + b > 0 ; b + c > 0 ; c + a > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a + b và c không âm, ta có:
\(\left(a+b\right)+c\ge2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{c}\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2c\sqrt[]{a+b}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)\ge2c\sqrt[]{a+b}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) (2) ;\(\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (3)
Cộng hai vế của (1), (2), (3), ta được:
\(\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện a, b, c là các số nguyên dương => Không thể xảy ra dấu " = "
=> ĐPCM
VT
0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với các số dương a,b,c ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\) (1)
CMTT, ta có: \(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) (2)
\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) = \(\dfrac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\) A\(\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=2\)
Vậy GTNN của A = 3 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)