Question

[Kim Taehyung]

Cho \(\left(P\right):y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng \(\left(d\right):y=mx+m+5\)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì
+ Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó
+ Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Tìm tọa độ hai điểm A và B phụ thuộc (P) sao cho A đối xứng với B quá điểm M(-1;5)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Điểmmà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

x+1=0 và y=5

=>x=-1 và y=5

PTHĐGĐ là:

1/2x^2-mx-m-5=0

=>x^2-2mx-2m-10=0

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-10\right)\)

\(=4m^2+8m+40=4m^2+8m+4+36=\left(2m+2\right)^2+36>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\y_A+y_B=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\\dfrac{1}{2}\left(x_A^2+x_B^2\right)=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1^2+x_2^2=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\end{matrix}\right.\)

=>x1+x2=-2 và 2x1x2=4-20=-16

=>x1+x2=-2 và x1x2=-8

=>x1,x2 là nghiệm của pt:

x^2+2x-8=0

=>(x+4)(x-2)=0

=>x=-4 hoặc x=2

=>A(-4;8); B(2;2)