Question

[Pun Pun]

Cho PT ẩn x     x²-2(m+1)x+m-4=0

1) Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại

2) Chứng minh rằng PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

3) Gọi x_1, x₂ là 2 nghiệm của PT

a) chứng mình rằng biết thức A=x₁(1-x₂)+x₂(1-x₁) không phụ thuộc vào giá trị của m

b) Tìm m để x₁+2x₂=3

c) Tìm m để x₁ + x₂ lớn hơn hoặc bằng 10x₁x₂+6m-5

Answer 1

[Incursion_03]

 1) vì pt có 1 nghiệm x = 2 nên

\(2^2-2\left(m+1\right).2+m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4-4m-4+m-4=0\)

\(\Leftrightarrow-3m=4\)

\(\Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}\)

Thay \(m=-\frac{4}{3}\)vào pt đã cho ta đc

\(x^2-2\left(-\frac{4}{3}+1\right)x-\frac{4}{3}-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{2x}{3}-\frac{16}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(3x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-\frac{8}{3}\end{cases}}\)

 Vậy nghiệm còn lại của pt là \(x=-\frac{8}{3}\)

2) Có \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m+4\)

               \(=m^2+2m+1-m+4\)

                \(=m^2+m+5\)

                  \(=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\forall m\)

=> Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

3) Theo hệ thức Vi-et có

\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2\left(m+1\right)}{1}=2m+2\)

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-4}{1}=m-4\)

         a,Ta có: \(A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\)

                          \(=x_1-x_1x_2+x_2-x_1x_2\) 

                          \(=\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)

                           \(=2m+2-2\left(m-4\right)\)

                          \(=2m+2-2m+8\)

                          \(=10\)ko phụ thuộc vào giá trị của m

      b, Từ \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\left(1\right)\\x_1+2x_2=3\end{cases}}\)

        \(\Rightarrow\left(x_1+2x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)=1-2m\) 

       \(\Rightarrow x_2=1-2m\)

Thế vào (1) ta đc \(x_1+1-2m=2m+2\)

                       \(\Leftrightarrow x_1=4m+1\)

Lại có: \(x_1x_2=m-4\)

\(\Leftrightarrow\left(4m+1\right)\left(1-2m\right)=m-4\)

\(\Leftrightarrow4m-8m^2+1-2m=m-4\)

\(\Leftrightarrow8m^2-m-5=0\)

\(\Delta=1-4.8.\left(-5\right)=161>0\)

Nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\frac{1-\sqrt{161}}{16}\)

\(m_2=\frac{1+\sqrt{161}}{16}\)

            c, \(x_1+x_2\ge10x_1x_2+6m-5\)

      \(\Leftrightarrow2m+2\ge10\left(m-4\right)+6m-5\)

      \(\Leftrightarrow2m+2\ge10m-40+6m-5\)

     \(\Leftrightarrow47\ge14m\)

     \(\Leftrightarrow m\le\frac{47}{14}\)

Vậy ............