\(Cho\)\(a\ge4,b\ge5,c\ge6\),\(a^2+b^2+c^2=90\)Chứng minh :\(a+b+c\ge16\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QH
2
HN
29 tháng 11 2017
1/ \(x^4+5>x^2+4x\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1+x^2-4x+4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2+\left(x-2\right)^2>0\) đúng vì đấu = không xảy ra
HN
29 tháng 11 2017
2/ Ta có:
\(a=\sqrt{90-b^2-c^2}\le\sqrt{90-5^2-6^2}< 6\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b< 7\\c\le7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-4\right)\left(a-9\right)+\left(b-5\right)\left(b-8\right)+\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13\left(a+b+c\right)+118\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge16\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 6 2018
Lời giải:
Đặt \((a,b,c)=(m+4,n+5,p+6)\Rightarrow m,n,p\geq 0\)
Điều kiện đb trở thành:
\(a^2+b^2+c^2=90\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13\)
Vì \(m,n,p\geq 0\) nên:
\(13=m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p\leq (m+n+p)^2+12(m+n+p)\)
\(\Leftrightarrow (m+n+p+13)(m+n+p-1)\geq 0\)
\(\Rightarrow m+n+p\geq 1\)
\(\Rightarrow a+b+c=m+n+p+15\geq 16\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(4,5,7)\)
27 tháng 6 2019
Từ giả thiết ta suy ra
(a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\(\le\)0
⇔a2+b2+c2−13(a+b+c)+118≤0⇔a2+b2+c2−13(a+b+c)+118≤0
⇔a+b+c≥16
Dấu "=" xảy ra khi a=4,b=5,c=6
C
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)
Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)
\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
T
14 tháng 11 2019
Xơi luôn nha:v
Có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(5^2+1^2+1^2\right)\ge\left(5a+b+c\right)^2\)
Do đó \(A\ge\frac{\left(5a+b+c\right)^2}{27}\). Lại có: \(5a+b+c=4a+\left(a+b+c\right)\ge4.5+7=27\)
Từ đó \(A\ge27\)
True?
CC
14 tháng 11 2019
Từ \(a\ge5\)và \(a+b\ge6\)\(\Rightarrow b\ge1\)
Từ \(a+b\ge6\)và \(a+b+c\ge7\)\(\Rightarrow c\ge1\)
\(\Rightarrow A=a^2+b^2+c^2\ge5^2+1^2+1^2=27\)
Dấu = xảy ra khi \(a=5,b=c=1\)
Vậy \(minA=27\Leftrightarrow a=5,b=c=1\)
BN
13 tháng 8 2017
Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)
Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)
=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)
=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)
=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)
Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1
\(Taco:\)
\(Đặt:S=a^2+b^2+c^2\)
\(.Với:a=4;b=5;c=6\Rightarrow S=76< 90\)
\(Taco:4+5+6=15\)
\(mà:a=4;b=5;c=6.S< 90\Rightarrow\)ít nhất a>4 hoặc: b>5 hoặc: c>6
Vì: a2;b2,c2 E N=> a,b,c E N
=> \(a+b+c\inℕ\Rightarrow a+b+c>15\Rightarrow a+b+c\ge16\left(đpcm\right)\)
Hoi nham ti ti nx to lam lai cho trua nhe