NQ
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
C
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)
Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)
\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
BN
13 tháng 8 2017
Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)
Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)
=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)
=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)
=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)
Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1
28 tháng 11 2019
Có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}\)
<=> \(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{c}+\frac{c+a}{a}\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}\)
<=> \(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{c}+\frac{c+a}{a}+\frac{4b}{a+b}+\frac{4c}{b+c}+\frac{4a}{c+a}\)
\(\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}+\frac{4b}{a+b}+\frac{4c}{b+c}+\frac{4a}{c+a}\)
<=> \(\left(\frac{a+b}{b}+\frac{4b}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c}+\frac{4c}{b+c}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{c+a}\right)\)
\(\ge\left(\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{a+b}\right)+\left(\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{b+c}\right)+\left(\frac{4c}{c+a}+\frac{4a}{c+a}\right)\)
<=> \(\left(\frac{a+b}{b}+\frac{4b}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c}+\frac{4c}{b+c}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{c+a}\right)\ge4+4+4\)
<=> \(\left(\frac{a+b}{b}+\frac{4b}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c}+\frac{4c}{b+c}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{c+a}\right)\ge12\)(1)
Áp dụng Cô-si: (1) đúng.
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đúng.
"=" <=> a = b = c.
9 tháng 6 2020
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b}-\frac{4a}{a+b}+\frac{b+c}{c}-\frac{4b}{b+c}+\frac{c+a}{a}-\frac{4c}{c+a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{b\left(a+b\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a\left(a+c\right)}\ge0\)
Luôn đúng vì a,b,c là các số dương
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 1 2019
Lời giải:
Ta viết lại biểu thức vế trái:
\(\text{VT}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{b+c}; \frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{4}{c+a}; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)
Do đó:
\(\text{VT}\geq a.\frac{4}{b+c}+b.\frac{4}{c+a}+c.\frac{4}{a+b}=4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
15 tháng 10 2017
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
15 tháng 10 2017
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
\(Taco:\)
\(Đặt:S=a^2+b^2+c^2\)
\(.Với:a=4;b=5;c=6\Rightarrow S=76< 90\)
\(Taco:4+5+6=15\)
\(mà:a=4;b=5;c=6.S< 90\Rightarrow\)ít nhất a>4 hoặc: b>5 hoặc: c>6
Vì: a2;b2,c2 E N=> a,b,c E N
=> \(a+b+c\inℕ\Rightarrow a+b+c>15\Rightarrow a+b+c\ge16\left(đpcm\right)\)
Hoi nham ti ti nx to lam lai cho trua nhe