Question

[Trần Thùy Dương]

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 

\(\left(x^2+y^2+1\right)^2-5x^2-4y^2-5=0\)

Answer 1

[Đen đủi mất cái nik]

\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)^2-5\left(x^2+y^2+1\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)=-y^2\)

Gọi d là UWCLN của x²+y²+1 và x²+y²-4

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1⋮d\\x^2+y^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1⋮d\\x^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-5+6⋮d\\x^2+5-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+6⋮d\\x^2-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow3⋮d\)

Do \(\left(3,5\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1=a^2\\x^2+y^2-4=b^2\end{cases}\Rightarrow}a^2-1=b^2+4\Rightarrow a^2-b^2=5\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=5\)

Sau đó lập bảng xét các ước của 5 ta tìm được a và b, sau khi tìm được a và b ta sẽ tìm được x và y