K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 10 2018

Lời giải:

\(A=\frac{a(a+b)}{a+2b}+\frac{b(b+a)}{2a+b}=(a+b)\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:

\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{2ab+b^2}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+2ab}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{2}{3}\)

Do đó:

\(A\geq \frac{2(a+b)}{3}\)

Cũng theo BĐT AM-GM: \(12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-4)(a+b+6)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 4\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow a=b=2\)