Question

[Sắc màu]

Cho hình thang cân ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, H là trung điểm đáy AB. Kẻ BE // AD, kẻ AF // BC ( E,F thuộc BC ). I là giao điểm của AE, BF. Qua I, kẻ IK vuông góc với DC tại K.

a ) Chứng minh : ABEF là hình thang cân

b ) H, O, I, K  thẳng hàng

Answer 1

[Pham Van Hung]

Ta có: \(\hept{\begin{cases}BE//AD\left(gt\right)\\AB//DE\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow ABED}\)là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{BAD}\left(t/c\right)\)

Tương tự, AFCB là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\) (góc đối)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}\)(tính chất hình thang cân)

\(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{AFE}\) Mà AB//FE nên ABEF là hình thang cân.

b, Bạn tự chứng minh được HA=HB,OA=OB,IA=IB 

Do đó: H,O,I thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường trung trực của đoạn AB) nên \(O\in IH\) (1)

\(\Delta IAB\)cân tại I có IH là đường trung tuyến nên IH đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow IH\perp AB\Rightarrow IH\perp CD\) (AB//CD)

Mà \(IK\perp CD\left(gt\right)\Rightarrow I,H,K\)thẳng hàng \(\Rightarrow K\in IH\) (2)

Từ (1) và (2), ta được 4 điểm H,O,I,K thẳng hàng

Chúc bạn học tốt.