Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)
Đặt \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 6 2016
Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:
\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
17 tháng 6 2016
Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
18 tháng 7 2017
Đặt biểu thức trên là A.
Ta có: \(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)).(\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\))=1
=>\(\frac{1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
Từ trên: \(\frac{1}{\left(2n+1\right).\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}\)
Lại có :\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right)+n}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right).n}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)(Bất đẳng thức Cô-si)
Thế số vào, ta được :
A<\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)=\(\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
iopdtg5 r4ytr'hfgo;hrt687y5t53434]\trvf;lkg