K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

a+4/a>=2*căn a*4/a=4

b+9/b>=2*căn b*9/b=6

c+16/c>=2*căn c*16/c=8

=>3a/4+b/2+c/4+3/a+9/2b+4/c>=3+3+2=8

a+2b+3c>=20

=>a/4+b/2+3c/4>=5

=>S>=13

Dấu = xảy ra khi a=2; b=3; c=4

15 tháng 5 2022

GTNN=13 khi a=2, b=3, c=4

 

16 tháng 5 2022

Đúng như bạn Quang viết, GTNN của S là 13 khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\), nhưng mình cần một lời giải thích vì sao nó lại ra như vậy.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 7 2017

Lời giải:

Biến đổi $A$ :

\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left (\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left (\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq \frac{20}{4}=5\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left\{\begin{matrix} \frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\geq 3\\ \frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\geq 3\\ \frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2\end{matrix}\right.\)

Do đó \(A\geq 5+3+3+2=13\) hay \(A_{\min}=13\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=4\end{matrix}\right.\)

Mấu chốt của bài toán là cách tìm điểm rơi.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 7 2017

Ôn tập cuối năm phần số học

3 tháng 9 2023

\(P=\dfrac{a}{2b+3c}+\dfrac{b}{2c+3a}+\dfrac{c}{2a+3b}\left(a;b;c>0\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\left(1\right)\)

Theo bất đẳng thức Cauchy :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\ge\dfrac{ab+bc+ca+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Vậy \(Min\left(P\right)=\dfrac{3}{5}\left(tại.a=b=c\right)\)

4 tháng 9 2023

Bổ sung chứng minh Bất đẳng thức :

\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)

Theo BĐT Bunhiacopxki :

\(\left(\dfrac{a}{\sqrt[]{m}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt[]{n}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt[]{q}}\right)^2.\left[\left(\sqrt[]{m}\right)^2+\left(\sqrt[]{n}\right)^2+\left(\sqrt[]{q}\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)

3 tháng 7 2021

\(P=\dfrac{5a+10b+15c}{4}+\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3a}{4}\right)+\left(\dfrac{9}{2b}+\dfrac{b}{2}\right)+\left(\dfrac{4}{c}+\dfrac{c}{4}\right)\)

\(\ge\dfrac{5\left(a+2b+3c\right)}{4}+2\sqrt{\dfrac{3}{a}.\dfrac{3a}{4}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2b}.\dfrac{b}{2}}+2\sqrt{\dfrac{4}{c}.\dfrac{c}{4}}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{5.20}{4}+3+3+2=33\)

Dấu "=" xảy ra khi a=2;b=3;c=4

Vậy \(P_{min}=33\)

30 tháng 8 2018

\(A=\dfrac{3}{a}+\dfrac{3a}{4}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3a}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{a}.\dfrac{3a}{4}}=3\)

\(\dfrac{9}{2b}+\dfrac{b}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{2b}.\dfrac{b}{2}}=3\)

\(\dfrac{4}{c}+\dfrac{c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{4}{c}.\dfrac{c}{4}}=2\)

\(\Rightarrow A\ge3+3+2+\dfrac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)

\(\Rightarrow A\ge8+\dfrac{1}{4}.20=13\)

Vậy Min A=13. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=2, b=3,c=4