cho các số thực dương x,y thỏa mãn x^2+y^2=1/2 CMRx/(y+1)+y/(x+10=<2/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
13 tháng 9 2018
7a có: \(\frac{1}{2}=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow x+y\le1\)
Áp dụng BD7 Cauchy-SChwarz 7a có:
\(V7=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=x-\frac{xy}{y+1}+y-\frac{xy}{x+1}\)
\(\le x+y-\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2}\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{x+1}\right)\)
\(\le1-\frac{\frac{1}{2}}{2}\cdot\frac{4}{1+2}=\frac{2}{3}=VP\)
Dấu "='' khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
NP
0
TV
0
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023
Lời giải:
$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2$
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow 2x+\sqrt{y^2+1}=2\sqrt{x^2+1}-y$
$\Rightarrow (2x+\sqrt{y^2+1})^2=(2\sqrt{x^2+1}-y)^2$
$\Leftrightarrow 4x^2+y^2+1+4x\sqrt{y^2+1}=4(x^2+1)+y^2-4y\sqrt{x^2+1}$
$\Leftrightarrow 4(x\sqrt{y^2+1})+y\sqrt{x^2+1})=3$
$\Leftrightarrow 4Q=3$
$\Leftrightarrow Q=\frac{3}{4}$
NT
0
ai giúp mik vs mik đang cần gấp