Question

[Tạ Phương Loan]

Cho 2 biểu thức:

A= \(\dfrac{x+3\sqrt{x}}{x-25}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+5}\)

B= \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}\) (x\(\ge\)0, x\(\ne\)25)

a) Tính giá trị của B tại x= \(\dfrac{23\left(5-\sqrt{2}\right)}{5+\sqrt{2}}\) (gợi ý: tìm x phải trục căn thức ở mẫu)

b) Rút gọn A và tìm x để \(\dfrac{A}{B}\) =\(\dfrac{4}{7}\)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P=\(\dfrac{A}{B}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) \(x=\frac{23(5-\sqrt{2})}{5+\sqrt{2}}=\frac{23(5-\sqrt{2})^2}{(5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})}=\frac{23(5-\sqrt{2})^2}{5^2-2}=(5-\sqrt{2})^2\)

\(\Rightarrow x=5-\sqrt{2}\)

Do đó: \(B=\frac{5-\sqrt{2}+2}{5-\sqrt{2}-5}=\frac{7-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-7}{\sqrt{2}}\)

b)

\(A=\frac{x+3\sqrt{x}}{x-25}+\frac{1}{\sqrt{x}+5}=\frac{x+3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}+\frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}\)

\(=\frac{x+4\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-5}\)

Ta có: \(\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-5}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{4}{7}\)

\(\Rightarrow 7(\sqrt{x}-1)=4(\sqrt{x}+2)\)

\(\Rightarrow \sqrt{x}=5\Rightarrow x=25\)

c)

\(\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-3}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)

Vì \(\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\geq 2\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{A}{B}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\geq 1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow x=0\)