CMR nếu a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
0
PB
1
25 tháng 10 2015
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca\right)=0\)\(Màa,b,c\ne0\Rightarrow a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca=0\Rightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=0\)
\(a,b,c\ne0\Rightarrow a-b=0;b-c=0;c-a=0\Rightarrow a=b=c\)
AD
CMR : nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
Mình là thành viên mới. Mong các bạn giúp mình
1
30 tháng 6 2017
Ta có : a + b + c = 0 => a = -(b + c)
Nên a3 + b3 + c3 - 3abc
= [-(b + c)]3 + b3 + c3 - 3abc
= -(b3 + 3b2c + 3bc2 + c3) + b3 + c3 - 3abc
= -b3 - 3b2c - 3bc2 - c3 + b3 + c3 - 3abc
= -3bc(a + b + c)
Mà a + b + c = 0
=> 3bc(a + b + c) = 0
Vậy a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 (đpcm)
5 tháng 10 2018
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
b,
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3.\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)=0\)
HT
2
30 tháng 7 2018
Ta có a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c). (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3abc= 3abc
= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0
Ta Thấy a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra ( a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0 Nên a=b=c
- k Mình Nhé
PL
30 tháng 7 2018
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
<=> (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = 0
<=> a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 (do a + b + c > 0)
<=> 1/2(2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca) = 0
<=> a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ac + a2 = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> a − b = b − c = c − a = 0
<=> a = b = c
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
2 tháng 11 2016
Ta có a,b,c dương nên ta áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu = khi \(a=b=c\)
Đpcm
TN
2 tháng 11 2016
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-3ab\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(b^2-2bc+c^2\right)\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0.\)
vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)
a³ + b³ + c³ = 3abc
<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
<=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0
<=> (a+b)³ - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0
<=> [(a+b)³ + c³] – 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)² - c(a+b) + c²] – 3ab(a+b+c) = 0
<=> (a+b+c)(a² + 2ab + b² - ac – bc + c² - 3ab) = 0
<=> (a+b+c)(a² + b² + c² - bc – ab – ca) = 0
<=>{a + b +c = 0, a;b;c là các số dương => a = b = c
hoặc {a² + b² + c² - bc – ab – ca = 0
<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2bc – 2ab – 2ca = 0
<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) = 0
<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0
mà (a - b)² ≥ 0 với mọi a;b
(b - c)² ≥ 0 với mọi b;c
(c - a)² ≥ 0 với mọi a;c
nên ta có a - b = b - c = c - a
=> a = b =c
Ta có:\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)+3.a.b.c=3.a.b.c\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)
Ta thấy a, b, c là số dương nên a + b + c khác 0 suy ra \(\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)nên a = b = c.
Vậy a = b = c