Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta thấy OM là trung trực của PQ => OM vuông góc PQ => ^OKI = ^OHM = 900
=> \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g) => OH.OI = OK.OM (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OH.OI = OK.OM = OP2 = R2
Vì d,O đều cố định nên khoẳng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi
Vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\). Mà tia OI cố định nên I cố định (đpcm).
Lời giải:
a)
Ta có: \(MP=MQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(OP=OQ=R\)
\(\Rightarrow MO\) là đường trung trực của $PQ$
\(\Rightarrow MO\perp PQ \rightarrow \widehat{OKI}=90^0\)
Xét tam giác $OKI$ và $OHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc O}\\ \widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OKI\sim \triangle OHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{OI}{OK}=\frac{OM}{OH}\Rightarrow OI.OH=OK.OM\) (đpcm)
b)
Vì $MQ$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $MQ\perp OG$
Xét tam giác vuông $MQO$, có đường cao $QK$ ứng với cạnh huyền $MO$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì có: \(OK.OM=OQ^2=R^2\)
Kết hợp với kết quả phần a suy ra \(OI.OH=R^2\)
$O$ cố định, $xy$ cố định nên $H$ cố định, suy ra $OH$ cố định
Vậy $R^2$ và $OH$ cố định, do đó $OI$ cố định, kéo theo $I$ là điểm cố định.
Hiển nhiên $I\in PQ$ nên $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $I$ khi $M$ thay đổi.
a.Ta có :MP,MQ là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow MP\perp OP,MQ\perp OQ\)
Mà \(OH\perp MH\Rightarrow M,H,O,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính MO
b.Ta có : M,H,Q,O,P cùng thuộc một đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{IHQ}=\widehat{IPQ}\)
Mà \(\widehat{HIQ}=\widehat{PIO}\Rightarrow\Delta IPO~\Delta IHQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IH.IO=IQ.IP\)
c.Ta có :
\(MP,MQ\) là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow PQ\perp MO\Rightarrow\widehat{OKI}=\widehat{OHM}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OKI~\Delta OHM\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OM.OK=OI.OH\)
Mà \(PK\perp OM,OP\perp MP\Rightarrow OK.OM=OP^2=R^2\)
\(\Rightarrow OI.OH=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)
Vì \(OH\perp d\) cố định \(\Rightarrow H\)cố định \(\Rightarrow I\) cố định
\(\Rightarrow IP.IQ=IO.IH\) không đổi
d ) Ta có :
\(\widehat{PMQ}=60^0\Rightarrow\widehat{KOQ}=\widehat{KOP}=60^0\)
Mà \(OK=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}R\)Lại có : \(\widehat{MOQ}=60^0,OQ\perp MQ\Rightarrow\Delta MQO\)là nửa tam giác đều\(\Rightarrow MO=2OQ=2R\Rightarrow MK=OM-OK=\frac{3}{2}R\)\(\Rightarrow\frac{S_{MPQ}}{S_{OPQ}}=\frac{\frac{1}{2}MK.PQ}{\frac{1}{2}OK.PQ}=\frac{MK}{OK}=\frac{3}{4}\)
a: Xét tứ giác OPMQ có
\(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}=90^0+90^0=180^0\)
=>OPMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM
=>M,P,O,Q cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
ΔPQA nội tiếp
PA là đường kính
Do đó: ΔPQA vuông tại Q
=>AQ\(\perp\)QP tại Q
=>AQ\(\perp\)PB tại Q
Xét ΔAPB vuông tại A có AQ là đường cao
nên \(PQ\cdot PB=PA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
a/ Ta có \(OM\perp PQ\) (Hai tt cùng xuất phát từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi đường nối 2 tiếp điểm)
Xét tg vuông OIK và tg vuông OMH có \(\widehat{HOM}\) chung => tg OIK đồng dạng tg OMH
\(\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OH.OI=OM.OK\)
Xét tg vuông QMO
\(OQ^2=R^2=OK.OM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow OH.OI=OM.OK=R^2\left(dpcm\right)\)
b/ Ta có
\(OH.OI=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)
Ta có d cố định, O cố định => OH cố định và không đổi
\(R^2\)không đổi
=> OI không đổi
=> I nằm trên đường thẳng OH cố định và cách O cố định 1 khoảng OI không đổi => I cố định
c/ Không hiểu đề bài