Question

[NGUYỄN MINH TÀI]

Tìm nghiệm nguyên của PT : \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)

Answer 1

[O=C=O]

https://diendantoanhoc.net/topic/35339-pt-nghi%E1%BB%87m-nguyen-day/

Answer 2

[Vũ Tiền Châu]

xét x=y=z=0 là nghiệm của pt

xét x,y,z đều khác 0, ta có

\(5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)=4\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}⋮4\)

Ta có \(\left|x\right|\ge1\Rightarrow\dfrac{1}{\left|x\right|}\le1\)

Tương tự, rồi cộng lại, ta có

\(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le3\)

Mà \(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\Rightarrow\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\le3\)

=> \(3\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge-3\)

Mà từ 3 đến -3 chỉ có 0 chia hết cho 4, nhng x,y,z khác 0 => vô lí

Vậy pt có bộ nghiệm nguyên là x=y=z=0