Có bao nhiêu bộ ba (x, y, z) nguyên dương sao cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz+2017\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NA
Nguyễn Anh Kim Hân
25 tháng 6 2018
x3+y3+z3 = 3xyz + 2017
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=2017\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=2017\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=4034\)
4034 có 4 ước nguyên dương là 1; 2; 2017; 4034. Mà x; y; z là ba số nguyên dương
\(\Rightarrow\)x +y+z \(\ge\)3 \(\Rightarrow\)x+y+z = 2017; 4034.
*Nếu x+y+z = 4034.
\(\Rightarrow\) (x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\) (loại)
*Nếu x+y+z = 2017
\(\Rightarrow\)(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 2
+ TH1:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (loại)
+TH2:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=1\\\left|x-z\right|=1\\y-z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x-z=-1\\y=z\end{matrix}\right.\)(không mất tính tổng quát)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2017\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017-2y\\x=y-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2017-2y=y-1\)
\(\Leftrightarrow3y=2016\Leftrightarrow y=672\)
\(\Rightarrow x=673;z=672\)
Vậy có 1 bộ ba (x;y;z) nguyên dương cần tìm là (672;672;673) và các hoán vị của chúng.
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
HM
0
TT
1
WR
24 tháng 6 2019
Áp dụng hđt: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)Ta có: \(x^3+y^3+3xyz=z^3\Leftrightarrow x^3+y^3+3xyz-z^3=0\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz\right)=0\)
Th1: \(x+y-z=0\Leftrightarrow x+y=z\Rightarrow z^3=\left(2x+2y\right)^2=4z^2\Leftrightarrow z=4\)(do z là số nguyen dương)
\(\Rightarrow x+y=4\)\(\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,3\right)\left(2,2\right)\left(3,1\right)\right\}\)
\(TH2:x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz=0\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2}{2}=0\)(loại vì x,y,z nguyên dương nên VT>0 )
Vậy...
NT
0
HH
1
NH
27 tháng 5 2018
cho ba số x,y,z khác 0 và 1/x+1/y+1/z=0. Tính giá trị biểu thức: P=2017/3xyz(1/x^3+1/y^3+1/z^3)
HH
1
10 tháng 5 2017
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\) {chưa hiểu cần =>c/m chi tiết một câu khác}
\(\Rightarrow P=\dfrac{2017}{3}.xyz.\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=2017\)
L
0
22 tháng 11 2017
Xét x, y, z cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì ta có:
\(\left(x-y\right)^3\)chẵn; \(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\) chẵn
\(\Rightarrow VT\)là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).
Xét trong 3 số x, y, z có 2 số chẵn 1 số lẻ. Không mát tính tổng quát giả sử số lẻ là x.
\(\left(x-y\right)^3\)lẻ; \(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\)lẻ
\(\Rightarrow\)VT là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).
Xét trong 3 số x, y, z có 2 số lẻ 1 số chẵn. Không mát tính tổng quát giả sử số chẵn là x.
\(\left(x-y\right)^3\)lẻ; \(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\)lẻ
\(\Rightarrow\)VT là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).
Vậy PT vô nghiệm.
HM
21 tháng 11 2017
Ta xét tính chẵn lẻ của x,y,z rồi chứng minh tổng trên luôn chẵn là được