VX
1
NA
Nguyễn Anh Kim Hân
25 tháng 6 2018
x3+y3+z3 = 3xyz + 2017
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=2017\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=2017\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=4034\)
4034 có 4 ước nguyên dương là 1; 2; 2017; 4034. Mà x; y; z là ba số nguyên dương
\(\Rightarrow\)x +y+z \(\ge\)3 \(\Rightarrow\)x+y+z = 2017; 4034.
*Nếu x+y+z = 4034.
\(\Rightarrow\) (x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\) (loại)
*Nếu x+y+z = 2017
\(\Rightarrow\)(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 2
+ TH1:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (loại)
+TH2:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=1\\\left|x-z\right|=1\\y-z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x-z=-1\\y=z\end{matrix}\right.\)(không mất tính tổng quát)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2017\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017-2y\\x=y-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2017-2y=y-1\)
\(\Leftrightarrow3y=2016\Leftrightarrow y=672\)
\(\Rightarrow x=673;z=672\)
Vậy có 1 bộ ba (x;y;z) nguyên dương cần tìm là (672;672;673) và các hoán vị của chúng.
Đúng(0)