a. CMR: Nếu x2+y2=1 thì -\(\sqrt{2}\) bé hơn hoặc bằng x+y bé hơn hoặc bằng \(\sqrt{2}\)
b.Cho x,y,z ∈R+.CMR:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
K
kito
16 tháng 6 2018
https://i.imgur.com/Godbi3O.jpg
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
TN
26 tháng 7 2018
a) \(\sqrt{\dfrac{x-2\sqrt{x+1}}{x+2\sqrt{x+1}}}\) = \(\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\)
b) \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\)\(\sqrt{\dfrac{y-2\sqrt{y+1}}{\left(x-1\right)^4}}\)
= \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\) \(\sqrt{\dfrac{\left(y-1\right)^4}{\left(x-1\right)^4}}\)
= \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\)\(\dfrac{\left(\sqrt{y}-1\right)^4}{\left(x-1\right)^2}\)
= \(\dfrac{\sqrt{y-1}}{x-1}\)
Chúc bạn học tốt :3
23 tháng 4 2018
Câu a :
Theo BĐT cauchy schwar ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)\ge9\)
Câu b : Sửa lại đề nha :
Theo BĐT cauchy schwar ta có :
\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Vì \(a+b+c\le\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
PN
23 tháng 7 2016
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
B
11 tháng 4 2017
Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+y^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng vì x.y > 0 => đpcm
20 tháng 5 2022
Câu 1:
a: \(P=\dfrac{a-4-5-\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\)
\(=\dfrac{a-\sqrt{a}-12}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}\)
b: Để P<1 thì \(\dfrac{\sqrt{a}-4-\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-2< 0\)
hay 0<a<4
4 tháng 3 2018
\(\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y< 1\end{matrix}\right.\)=> dccm sai = > người ra đề sai họăc người chép đề sai ;